Domanda sviluppi in serie di taylor
Salve, vorrei fare qualche domanda semplice per quanto riguarda gli sviluppi in serie di taylor più che altro per conferma.
Prima di tutto volevo chiedere se si deve avere per forza che numeratore e denominatore abbiano alla fine dei calcoli la stessa approssimazione e stesso grado.
Poi, come metodo vorrei capire se è giusto che si risolva semplificando in modo da avere o(n)=o(1) a numeratore e/o denominatore (quindi se anche averlo solo a uno o l'altro vada bene) e se questo termine può andar trascurato in ogni caso.
Ad esempio ho fatto questo limite
$lim_(x->0^+) (sqrtx*(e^x-1+ln(1+2x)))/sqrt(tanx - senx)$
Sviluppandolo termine a termine dà:
$lim_(x->0^+) (3x+o(x))/sqrt(x(x/2+o(x^4))) = lim_(x->0^+) (3x+o(x))/sqrt(x^2/2+o(x^5)) = lim_(x->0^+) (3x+o(x))/sqrt(x^2/2+o(x^2)) = lim_(x->0^+) (x*(3+o(1)))/sqrt(x^2*(1/2+o(1))) = lim_(x->0^+) (x*(3+o(1)))/(x*sqrt(1/2+o(1))) = lim_(x->0^+) (3+o(1))/sqrt(1/2+o(1)) = $
A questo punto il limite stesso e anche gli o(1) diventan trascurabili
=$ 3*sqrt2 $
Tutto corretto?
Prima di tutto volevo chiedere se si deve avere per forza che numeratore e denominatore abbiano alla fine dei calcoli la stessa approssimazione e stesso grado.
Poi, come metodo vorrei capire se è giusto che si risolva semplificando in modo da avere o(n)=o(1) a numeratore e/o denominatore (quindi se anche averlo solo a uno o l'altro vada bene) e se questo termine può andar trascurato in ogni caso.
Ad esempio ho fatto questo limite
$lim_(x->0^+) (sqrtx*(e^x-1+ln(1+2x)))/sqrt(tanx - senx)$
Sviluppandolo termine a termine dà:
$lim_(x->0^+) (3x+o(x))/sqrt(x(x/2+o(x^4))) = lim_(x->0^+) (3x+o(x))/sqrt(x^2/2+o(x^5)) = lim_(x->0^+) (3x+o(x))/sqrt(x^2/2+o(x^2)) = lim_(x->0^+) (x*(3+o(1)))/sqrt(x^2*(1/2+o(1))) = lim_(x->0^+) (x*(3+o(1)))/(x*sqrt(1/2+o(1))) = lim_(x->0^+) (3+o(1))/sqrt(1/2+o(1)) = $
A questo punto il limite stesso e anche gli o(1) diventan trascurabili
=$ 3*sqrt2 $
Tutto corretto?
Risposte
Ciao Jaeger90,
Non ho capito perché $o(x^5) $ ad un certo punto diventa $o(x^2) $, ma il risultato del limite è corretto:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} (sqrtx \cdot (e^x-1+ln(1+2x)))/sqrt(tanx - sinx) = \pm 3\sqrt{2} $
con ovvio significato dei simboli.
"Jaeger90":
Tutto corretto?
Non ho capito perché $o(x^5) $ ad un certo punto diventa $o(x^2) $, ma il risultato del limite è corretto:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} (sqrtx \cdot (e^x-1+ln(1+2x)))/sqrt(tanx - sinx) = \pm 3\sqrt{2} $
con ovvio significato dei simboli.
Perchè poi non avrei potuto effettuare il raccoglimento se fosse stato di grado diverso da 2.
Più che altro sapevo che il risultato era corretto (il testo non riporta il -, perchè vale come soluzione?), erano le domande che ho fatto di cui cercavo la risposta.
Più che altro sapevo che il risultato era corretto (il testo non riporta il -, perchè vale come soluzione?), erano le domande che ho fatto di cui cercavo la risposta.
"Jaeger90":
Perchè poi non avrei potuto effettuare il raccoglimento se fosse stato di grado diverso da 2.
E perché, di grazia? Casomai avresti ottenuto un infinitesimo di ordine superiore, ma non vedo quale sia il problema. Consiglio di andare a rivedere l'algebra degli "$o$", si trovano molte cose interessanti anche su questo stesso forum... 
"Jaeger90":
il testo non riporta il -, perchè vale come soluzione?
Pensavo fosse chiaro: vale la soluzione col $+$ se $x \to 0^+ $, vale quella col $- $ se $x \to 0^- $
"Jaeger90":
il testo non riporta il -, perchè vale come soluzione?
Pensavo fosse chiaro: vale la soluzione col $+$ se $x \to 0^+ $, vale quella col $- $ se $x \to 0^- $
Mi son appena accorto che hai messo anche il verso negativo allo 0.
Purtroppo è troppo piccolo e quasi non compare sul mio schermo dato che la grafica di questo sito occupa 1/3 della pagina ed è minuscola quasi illegibile..
Riguardo gli o(n) essi posson sempre essere trascurati?
"Jaeger90":
Riguardo gli o(n) essi posson sempre essere trascurati?
Diciamo che si possono trascurare oculatamente, facendo attenzione alle cancellazioni. Comunque non è necessario che l'$o$ a numeratore sia uguale all'$o$ a denominatore, come sembri far intendere con la soluzione del limite che hai proposto...
"pilloeffe":
[quote="Jaeger90"]Riguardo gli o(n) essi posson sempre essere trascurati?
Comunque non è necessario che l'$o$ a numeratore sia uguale all'$o$ a denominatore, come sembri far intendere con la soluzione del limite che hai proposto...
[/quote]Hmm.. giusto per mia curiosità, vorrei capire in maniera completa, senza saltare passaggi neanche se ovvi, come avviene l'eliminazione degli o piccoli per avere il risultato finale senza diminuire volontariamente il grado.
Mettiamo che ho
$lim_(x->0) ((x^3/24+o(x^3))/(2x^3+o(x^4)))$
tecnicamente potrei abbassare al denominatore il grado dell'o e avrei tutto in $x^3$, dato che il numeratore è già approssimato al grado 3 allora non ha senso avere al denominatore qualcosa che è approssimato a un grado in più.
Comunque, credo che i calcoli "completi", senza dividere direttamente i termini da un punto di vista pratico, siano:
$lim_(x->0) ((x^3/24+o(x^3))/(2x^3+o(x^4)))$ = $lim_(x->0) ( (x^3(1/24+o(1)))/(x^3(2+o(x))) ) = lim_(x->0) ( (1/24+o(1))/(2+o(x)) ) $
A questo punto se avessi avuto a numeratore e denominatore o con stesso grado, avrei avuto sia a numeratore e denominatore degli $o(1)$ che sono valori numeri senza incognita e non si considerano. Ma essendoci qui un o(x) residuo solo a denominatore come si ragiona? Lo si elimina direttamente perchè non c'è niente da approssimare come fosse un o(1)?
Up.
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