Domanda sulle serie di potenze

[lorrr96]

Il mio libro le definisce come serie di funzioni della forma

$\sum_{k=0}^(+\infty) a_k(y-y_0)^k$

o, equivalentemente,

$\sum_{k=0}^(+\infty) a_kx^k$

dopo aver posto $y-y_0=x$

Se invece della sola $x$ ci fosse una $f(x)$, si potrebbe continuare a parlare di serie di potenze?
In particolare mi riferisco alla possibilità di poter calcolare il raggio di convergenza e il relativo insieme di convergenza.

Ad esempio una serie della forma $\sum_{n=1}^(+\infty) \frac{1}{nln(3n^2)}(\frac{2x+2}{x+3})^n$ si può studiare usando gli strumenti che si hanno a disposizione per le serie di potenze?

Calcolo il raggio di convergenza: \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln(3n^2)}}=1\)

quindi la serie converge se \(\displaystyle \begin{vmatrix}\frac{2x+2}{x+3} \end{vmatrix}<1 \)

ossia se $|x|<1$. Controllando i valori agli estremi si vede che converge anche per $x=-1$

è corretto un ragionamento del genere?

[Zero87]

"Glimpsyd":Se invece della sola $x$ ci fosse una $f(x)$, si potrebbe continuare a parlare di serie di potenze?
In particolare mi riferisco alla possibilità di poter calcolare il raggio di convergenza e il relativo insieme di convergenza.

Ad esempio una serie della forma $\sum_{n=1}^(+\infty) \frac{1}{nln(3n^2)}(\frac{2x+2}{x+3})^n$ si può studiare usando gli strumenti che si hanno a disposizione per le serie di potenze?

Certamente, basta porre $y=f(x)$ per poi risolvere la serie di potenze con i metodi usuali. Infine basta risostituire una volta trovato il raggio di convergenza per la $y$.