Domanda sulle serie, comportamento di una successione
scusate una domanda sulle serie, ma se io trovo che una serie si comporta come $(1/2)((n+1)/n)^n$ devo applicare il limite notevole e mi risulta$e/2$>1 quindi è divergente oppure non applico il limite notevole, mi viene 1/2 che è <1 quindi converge? (ho applicato il confronto asintotico)
Risposte
Se stai facendo i limite per [tex]$n\to +\infty$[/tex] ovviamente devi usare il limite notevole e la successione tende a $e/2$, quindi la serie diverge.
Più facilmente, puoi vedere che il termine generale della serie è maggiore di $1/2$ perché la parentesi è maggiore di 1 (e in più anche elevata ad esponente positivo).
[tex]$\frac{1}{2}\bigg(\frac{n+1}{n}}\bigg)^n>\frac{1}{2}$[/tex] quindi la serie è controllata dal basso dalla serie [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2}$[/tex] che però diverge (stai sommando infinite volte una quantità positiva costante).
Quindi anche senza applicare limiti notevoli, concludi in questo modo.
Ti torna?
Più facilmente, puoi vedere che il termine generale della serie è maggiore di $1/2$ perché la parentesi è maggiore di 1 (e in più anche elevata ad esponente positivo).
[tex]$\frac{1}{2}\bigg(\frac{n+1}{n}}\bigg)^n>\frac{1}{2}$[/tex] quindi la serie è controllata dal basso dalla serie [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2}$[/tex] che però diverge (stai sommando infinite volte una quantità positiva costante).
Quindi anche senza applicare limiti notevoli, concludi in questo modo.
Ti torna?
Per le serie numeriche c'è una condizione necessaria di convergenza che deve sempre essere verificata, altrimenti la serie non può convergere: hai presente a quale mi riferisco?
@raptorista: le condizione necessaria la conosco, che deve tendere a 0 e devono essere termini positivi
@steven: la disuguaglianza che mi hai detto tu mi dice che la serie diverge..ma il libro dice che converge!!! dov'è che sbaglio?
vi risporto i passaggi:
$\sum(n^n)/(2n!)$ applico il criterio del rapporto
$(((n+1)^(n+1))/(2(n+1)!))*(2n!)/n^n$ semplifico
$1/2(1+1\n)^n$
come fa a convergere??
@steven: la disuguaglianza che mi hai detto tu mi dice che la serie diverge..ma il libro dice che converge!!! dov'è che sbaglio?
vi risporto i passaggi:
$\sum(n^n)/(2n!)$ applico il criterio del rapporto
$(((n+1)^(n+1))/(2(n+1)!))*(2n!)/n^n$ semplifico
$1/2(1+1\n)^n$
come fa a convergere??
"fra01":
@raptorista: le condizione necessaria la conosco, che deve tendere a 0 e devono essere termini positivi
Non è necessario che i termini siano positivi!
"fra01":
come fa a convergere??
Non ci siamo capiti: quella serie NON converge!
strano ma vero allora ha sbagliato il libro :S o meglio gli esercizi in rete...
NUMERO 387 preso da qui: http://wpage.unina.it/nfusco/variuno.pdf
con soluzioni qui: http://wpage.unina.it/nfusco/soluzioni6.pdf dice convergente...
NUMERO 387 preso da qui: http://wpage.unina.it/nfusco/variuno.pdf
con soluzioni qui: http://wpage.unina.it/nfusco/soluzioni6.pdf dice convergente...
Fra, il problema è che la scrivi male! A denominatore c'è $(2n)!$, mentre tu lo consideri come $2\cdot n!$ che sono due cose diverse (ad esempio se $n=3$ hai $(2\cdot 3)!=6!=720$, e $2\cdot 3!=2\cdot 6=12$). Il limite da calcolare con il criterio del rapporto è il seguente:
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)\cdot (n+1)^n\cdot (2n)!}{2(n+1)(2n+1)(2n)!\cdot n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(2n+1)}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=0\cdot e=0$[/tex]
per cui la serie converge.
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)\cdot (n+1)^n\cdot (2n)!}{2(n+1)(2n+1)(2n)!\cdot n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(2n+1)}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=0\cdot e=0$[/tex]
per cui la serie converge.
E allora sì che le cose quadrano!
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