Domanda sulle Equazioni Complesse ed Esercizio

[matteo.stoico]

Salve ragazzi, ho un dubbio riguardo la notazione che ho trovato in alcune equazioni complesse, ad esempio:

Risolvere nel campo complesso:
$z^2*||z||=i\bar{z}$

Il simbolo di "doppia sbarra verticale" sta per norma del numero complesso?
Dunque dovrei sostituire $||z||=x^2+y^2$ ?

Secondo quanto avevo pensato questo è il modo in cui ho provato a risolvere l'esercizio:
Applico la sostituzione $z=x+iy$ ed ottengo

$(x+iy)^2*(x^2+y^2)=i(x-iy)$
$(x^2+2ixy-y^2)*(x^2+y^2)=i(x-iy)$
$x^4+x^2y^2+2ix^3y+2ixy^3-x^2y^2-y^4=ix+y$
$x^4-y^4-y+2ix^3y+2ixy^3-ix=0$
$x^4-y^4-y+2i(x^3y+xy^3-x)=0$

Da cui, dovendo uguagliare a zero la parte reale e la parte immaginaria ottengo il sistema da risolvere:
\begin{cases} x^4-y^4-y=0 \\ x^3y+xy^3-x=0 \end{cases}
E' giusto?
Ringrazio in anticipo

[Ziben]

Ciao,
per quello che ne so, dovrebbe essere $||z||=sqrt(x^2+y^2)$ se si intende il modulo del numero complesso

[matteo.stoico]

Ciao Ziben,
purtroppo penso che non sia la stessa cosa, negli esercizi dello stesso professore vengono usati differentemente
$|z|$ per indicare il modulo del numero complesso
$||z||$ probabilmente la norma del numero complesso, ma non ne sono sicuro...

[Ziben]

Se la norma è la solita (euclidea) allora "in soldoni" coincidono. Ammettiamo pertanto che $||z|| = |z|$.
Passiamo alla rappresentazione polare ponendo $\alpha=arg(z)$ e ricordando che $|\overline{z}|=|z|$, che $arg(\overline{z})=-arg(z)$ e che $z^n=|z|^n*e^(i*n\alpha)$ si ottiene:

$|z|^2e^(2i\alpha)*|z|=e^(ipi/2)*|z|e^(-i\alpha)$

Si nota che $z=(0,0)$ è una soluzione (lo si vedeva da subito). Imponendo ora che $z\ne (0,0)$ possiamo dividere per $|z|$ e ottenere:

$|z|^2e^(2i\alpha) = e^(i(pi/2-\alpha))$