Domanda sulle distribuzioni temperate
Ciao, sono alle prese con una osservazione che mi lascia un po' perplesso, anche se forse non così difficile quanto mi sembri (per la precisione viene dal testo di Treves, "Basic linear partial differential equations" p. 96 e seg.).
Si prende il problema di Cauchy per l'equazione di Cauchy-Riemann omogenea:
${((\partial)/(\dt) u (t,x)+ i (\partial)/(\dx) u (t,x)= 0 ), (u(0,x)=u_0 (x)):}$, $ \ t \in (-T,T), x \in RR$.
Si effettua la trasformata di Fourier rispetto a $x$ riconducendo il tutto ad un problema ordinario:
${((\partial)/(\dt) \hat u - \xi \hat u = 0 ), (\hat u(0,\xi)= \hat u_0 (\xi)):}$.
Tale problema di Cauchy ha soluzione:
$\hat u (t, \xi)=e^{t \x} \hat u_0 (\xi)$
Formalmente, per determinare $u$ si deve applicare l'antitrasformazione di Fourier, ottenendo:
$u(t,x)=1/(2 \pi) int_{RR} e^{i x \xi} e^{t \xi} \hat u_0 (\xi) d \xi$.
Perchè un tale passaggio sia corretto, è necessario che $e^{t \xi} \hat u_0 (\xi)$ sia una distribuzione temperata rispetto a $\xi$, $\forall t \in (-T,T)$.
Il libro poi afferma che, se effettivamente ciò accade, se $0+oo$. Questo fatto non viene giustificato sul testo.
A lezione è stato detto che ciò è vero in quanto, se $e^{t \xi} \hat u_0 (\xi)$ è temperata, allora:
$\forall (-T,T), |e^{t \xi} \hat u_0(\xi)|<= C_N |\xi|^N$, ove $N \in NN$ e $C_N>0$ è una costante. (*)
Poi va avanti.
Ma il punto che non riesco a capire è questo: che senso ha fare una disuguaglianza quando si sta parlando di una distribuzione che, almeno da quanto mi sembra, non è necessariamente una funzione? Forse invece lo è? O forse in (*) veniva giustificata l'osservazione solo nel caso particolare in cui la distribuzione temperata in questione è una funzione? E poi perchè quella disuguaglianza?
Magari è una cavolata, ma mi sarebbe molto utile se qualcuno mi desse una mano.
Grazie in anticipo, ciao.
Si prende il problema di Cauchy per l'equazione di Cauchy-Riemann omogenea:
${((\partial)/(\dt) u (t,x)+ i (\partial)/(\dx) u (t,x)= 0 ), (u(0,x)=u_0 (x)):}$, $ \ t \in (-T,T), x \in RR$.
Si effettua la trasformata di Fourier rispetto a $x$ riconducendo il tutto ad un problema ordinario:
${((\partial)/(\dt) \hat u - \xi \hat u = 0 ), (\hat u(0,\xi)= \hat u_0 (\xi)):}$.
Tale problema di Cauchy ha soluzione:
$\hat u (t, \xi)=e^{t \x} \hat u_0 (\xi)$
Formalmente, per determinare $u$ si deve applicare l'antitrasformazione di Fourier, ottenendo:
$u(t,x)=1/(2 \pi) int_{RR} e^{i x \xi} e^{t \xi} \hat u_0 (\xi) d \xi$.
Perchè un tale passaggio sia corretto, è necessario che $e^{t \xi} \hat u_0 (\xi)$ sia una distribuzione temperata rispetto a $\xi$, $\forall t \in (-T,T)$.
Il libro poi afferma che, se effettivamente ciò accade, se $0
A lezione è stato detto che ciò è vero in quanto, se $e^{t \xi} \hat u_0 (\xi)$ è temperata, allora:
$\forall (-T,T), |e^{t \xi} \hat u_0(\xi)|<= C_N |\xi|^N$, ove $N \in NN$ e $C_N>0$ è una costante. (*)
Poi va avanti.
Ma il punto che non riesco a capire è questo: che senso ha fare una disuguaglianza quando si sta parlando di una distribuzione che, almeno da quanto mi sembra, non è necessariamente una funzione? Forse invece lo è? O forse in (*) veniva giustificata l'osservazione solo nel caso particolare in cui la distribuzione temperata in questione è una funzione? E poi perchè quella disuguaglianza?
Magari è una cavolata, ma mi sarebbe molto utile se qualcuno mi desse una mano.
Grazie in anticipo, ciao.
Risposte
Faccio un ultimo up poi non disturbo più... Nessun parere? 
Ciao amel, resuscito questo vecchio topic perché semi-casualmente ho trovato informazioni riguardo:
P.S.: Rileggendo la tua domanda non saprei dirti quanto questa informazione sia pertinente. Spero che almeno non ti faccia perdere tempo.
che senso ha fare una disuguaglianza quando si sta parlando di una distribuzioneSe ne parla sullo Schwartz Théorie des distributions, §4: Distributions positives. In sostanza lui definisce le distribuzioni positive come le [tex]T \in \mathcal{D}'[/tex] tali che [tex]\langle T, \varphi \rangle \ge 0[/tex] ogniqualvolta [tex]\varphi \in \mathcal{D},\ \varphi\ge 0[/tex]. Pertanto può dire che una distribuzione [tex]T_1[/tex] è superiore (? sul libro c'è scritto supérieure) ad una distribuzione [tex]T_2[/tex] se [tex]T_1-T_2[/tex] è positiva. Segue un teorema: tutte le distribuzioni positive sono in realtà delle misure positive, e poi un mare di altre considerazioni.
P.S.: Rileggendo la tua domanda non saprei dirti quanto questa informazione sia pertinente. Spero che almeno non ti faccia perdere tempo.
Beh grazie comunque per la risposta... un po' magari ci penso su uno di questi giorni (ad ogni modo quando ho dato l'esame quell'asserzione lì mi ero rassegnato ad impararla e basta senza capirla 
).
(P.S.: Stai diventando un esperto di distribuzioni ormai... a quando un libro sulle distribuzioni?
Scherzi a parte, ci vorrebbe veramente un testo non difficile ma rigoroso che parli di questo argomento, ce ne sono veramente pochi di testi del genere...)
Ciao!
). (P.S.: Stai diventando un esperto di distribuzioni ormai... a quando un libro sulle distribuzioni?
Scherzi a parte, ci vorrebbe veramente un testo non difficile ma rigoroso che parli di questo argomento, ce ne sono veramente pochi di testi del genere...)Ciao!
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