Domanda sulle derivate
buongiorno,
se la derivata rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta tangente, come mai esempio, nel derivare x^2 2x graficamente non è tangente a nulla ?
se la derivata rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta tangente, come mai esempio, nel derivare x^2 2x graficamente non è tangente a nulla ?
Risposte
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quindi 2x è la derivata nel punto ?! 
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"DR1":
quindi 2x è la derivata nel punto ?!
Nel generico punto $x \in \RR $, dato che la funzione $y = x^2$ ha dominio naturale $D =\RR$
Per vederlo basta che scrivi $x$ al posto di $x_0 $ nell'ottima prima risposta che ti ha già dato sellacollesella, il ragionamento è lo stesso...
quindi quando vedo scritto \(\displaystyle 2x \) è sempre sottinteso \(\displaystyle 2x_0 \) ?
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"DR1":
quindi quando vedo scritto $2x$ è sempre sottinteso $2x_0$ ?
No, quando vedi scritto $f'(x) = 2x $ significa che quella è la derivata nel generico punto $x \in \RR $: se poi vuoi sapere qual è la derivata nello specifico punto $x_0 $ scriverai $f'(x_0) = 2x_0 $
tutto chiaro, quello che mi sconcerta è che nei risultati delle derivate a volte x_0 sembra sparire.
"pilloeffe":
No, quando vedi scritto $f'(x) = 2x $ significa che quella è la derivata nel generico punto $x \in \RR $: se poi vuoi sapere qual è la derivata nello specifico punto $x_0 $ scriverai $f'(x_0) = 2x_0 $
ma da definizione è x_0, quindi dove esce fuori x, perchè si puo fare cio ?
Perché ti sconcerta che sparisca $x_0$? Significa semplicemente che il coefficiente angolare è indipendente dal punto in cui vuoi determinare la retta tangente al grafico della funzione. Ad esempio, la bisettrice del I° e III° quadrante ha coefficiente angolare costantemente $1$ e, infatti, in ogni punto essa coincide con la sua tangente e perciò non potrà mai avere coefficiente angolare variabile. Tautologicamente, possiamo riassumere dicendo: "Le cose variano se variano, altrimenti non variano".
"DR1":
ma da definizione è $x_0$, quindi dove esce fuori $x$, perché si può fare ciò?
Beh, perché puoi sempre porre $x := x_0 + h \implies h = x - x_0 $ ed infatti la derivata si può anche definire nella forma seguente:
$f'(x_0) := \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $
"DR1":
quindi quando vedo scritto \(\displaystyle 2x \) è sempre sottinteso \(\displaystyle 2x_0 \) ?
Mi sa che devi distinguere tra derivata in un punto, es. $x_0$, e derivata come funzione , che in genere si chiama tout court derivata della funzione (senza specificare in quale punto).
La derivata in un punto è un numero, il limite del rapporto incrementale in quel punto.
La derivata come funzione è, come dice il nome
, una funzione, che associa a ogni punto del dominio della funzione di partenza la sua derivata-numero (se esiste, ovviamente).Nel caso $f(x)= x^2$, la derivata in un punto, ad es. $x_0=2$, è $4$.
La derivata come funzione (che si usa chiamare derivata e basta) è $f'(x)=2x$.
Se $f'(x)$ è la funzione-derivata di $f(x)$, la derivata di $f(x)$ in un punto $x_0$ è $f'(x_0)$.
Guarda ad esempio questa scheda del dipartimento di matematica di Genova:
http://macosa.dima.unige.it/ssis/MD/Der ... er&Der.htm
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