Domanda sulla struttura d'ordine
Ciao a tutti.
Quando si da la definizione di intorno circolare, si parte
sempre dal dare la definizione in $R$ per poi generalizzare
a $R^n$. Ora la particolare differenza tra $R$ e $R^n$ è che
alla seconda non si mette la struttura d'ordine.
Su un altro libro, ho letto anche che manca dell'assioma
di Dedekind. Ma perchè?
Quando si da la definizione di intorno circolare, si parte
sempre dal dare la definizione in $R$ per poi generalizzare
a $R^n$. Ora la particolare differenza tra $R$ e $R^n$ è che
alla seconda non si mette la struttura d'ordine.
Su un altro libro, ho letto anche che manca dell'assioma
di Dedekind. Ma perchè?
Risposte
Se non puoi definire l'ordine non ha senso parlare di estremo superiore ed inferiore (né di massimo e minimo), quindi come lo esprimi l'assioma di Dedekind?
Ciò che non riesco a capire davvero, è perchè non si può definire l'ordine in $R^n$.
La butto giù un po' "alla carlona"; benvenuto chi voglia migliorare ogni aspetto formale.
In realtà le strutture d'ordine su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] si possono pure introdurre.
Ad esempio basta porre per definizione:
[tex]$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)\ \Leftrightarrow \ x_1\leq y_1$[/tex]
per definire una relazione d'ordine totale in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] compatibile con la somma e col prodotto per uno scalare positivo, nel senso che:
[tex]$\text{$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)$ e $(z_1,\ldots ,z_N)\preceq (w_1,\ldots ,w_N)$}\ \Rightarrow\ (x_1+z_1,\ldots ,x_N+z_N)\preceq (y_1+w_1,\ldots ,y_N+w_N)$[/tex] e
[tex]$\text{$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)$ e $\lambda \geq0$}\ \Rightarrow\ (\lambda x_1,\ldots ,\lambda x_N)\preceq (\lambda y_1,\ldots ,\lambda y_N)$[/tex].
Oppure puoi definire:
[tex]$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)\ \Leftrightarrow \ x_1\leq y_1,\ x_2\leq y_2,\ \ldots ,\ x_N\leq y_N$[/tex]
ed ottenere una relazione d'ordine parziale* compatibile con le operazione nel senso suddetto.
Però il problema è che non appena introduci un'applicazione simile al prodotto, allora nessuno di questi ordini è compatibile con tale operazione.**
Tuttavia in Analisi tali relazioni non sono poi così utili come nel caso unidimensionale (invece in altre parti della Matematica tali relazioni sono interessanti... Ad esempio, in Ricerca Operativa si usa la seconda relazione se non ricordo male).
Se ci pensi un po' il fatto che in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] sia possibile introdurre un ordine con tutte quelle proprietà dipende dal fatto che i numeri reali si possono rappresentare su una retta, ed una retta ha solo due versi di percorrenza; una volta che hai fissato quello che vuoi considerare "positivo", puoi introdurre la relazione d'ordine etc...
Al contrario nel piano e nello spazio (con cui si rappresentano [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]) non ci sono direzioni privilegiate di movimento, né quindi è possibile fissare un verso di percorrenza positivo in senso univoco.
__________
* Il fatto che l'ordine così definito sia parziale discende dal fatto che esistono sempre almeno due $N$-uple non confrontabili: infatti se [tex]$(x_1,\ldots ,x_N) =(1,0,\ldots 0)$[/tex] e [tex]$(y_1,\ldots ,y_N) =(0,\ldots 0,1)$[/tex] si ha [tex]$x_1\geq y_1$[/tex] e [tex]$x_N\leq y_N$[/tex], quindi non si può dire né che [tex]$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)$[/tex] né che [tex]$(y_1,\ldots ,y_N)\preceq (x_1,\ldots ,x_N)$[/tex].
** Purtroppo non conosco i dettagli.
Evidentemente se [tex]$N=2$[/tex] oppure [tex]$N=4$[/tex] la cosa si risolve introducendo il prodotto tramite gl'isomorfismi di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] con [tex]$\mathbb{C}$[/tex] e di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex] con [tex]$\mathbb{H}$[/tex] ([tex]$\mathbb{H}$[/tex] sono i quaternioni); tuttavia per gli altri [tex]$N$[/tex] mi pare non sia possibile seguire questa strada... Servirebbe un algebrista per illuminarci.
In realtà le strutture d'ordine su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] si possono pure introdurre.
Ad esempio basta porre per definizione:
[tex]$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)\ \Leftrightarrow \ x_1\leq y_1$[/tex]
per definire una relazione d'ordine totale in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] compatibile con la somma e col prodotto per uno scalare positivo, nel senso che:
[tex]$\text{$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)$ e $(z_1,\ldots ,z_N)\preceq (w_1,\ldots ,w_N)$}\ \Rightarrow\ (x_1+z_1,\ldots ,x_N+z_N)\preceq (y_1+w_1,\ldots ,y_N+w_N)$[/tex] e
[tex]$\text{$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)$ e $\lambda \geq0$}\ \Rightarrow\ (\lambda x_1,\ldots ,\lambda x_N)\preceq (\lambda y_1,\ldots ,\lambda y_N)$[/tex].
Oppure puoi definire:
[tex]$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)\ \Leftrightarrow \ x_1\leq y_1,\ x_2\leq y_2,\ \ldots ,\ x_N\leq y_N$[/tex]
ed ottenere una relazione d'ordine parziale* compatibile con le operazione nel senso suddetto.
Però il problema è che non appena introduci un'applicazione simile al prodotto, allora nessuno di questi ordini è compatibile con tale operazione.**
Tuttavia in Analisi tali relazioni non sono poi così utili come nel caso unidimensionale (invece in altre parti della Matematica tali relazioni sono interessanti... Ad esempio, in Ricerca Operativa si usa la seconda relazione se non ricordo male).
Se ci pensi un po' il fatto che in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] sia possibile introdurre un ordine con tutte quelle proprietà dipende dal fatto che i numeri reali si possono rappresentare su una retta, ed una retta ha solo due versi di percorrenza; una volta che hai fissato quello che vuoi considerare "positivo", puoi introdurre la relazione d'ordine etc...
Al contrario nel piano e nello spazio (con cui si rappresentano [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]) non ci sono direzioni privilegiate di movimento, né quindi è possibile fissare un verso di percorrenza positivo in senso univoco.
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* Il fatto che l'ordine così definito sia parziale discende dal fatto che esistono sempre almeno due $N$-uple non confrontabili: infatti se [tex]$(x_1,\ldots ,x_N) =(1,0,\ldots 0)$[/tex] e [tex]$(y_1,\ldots ,y_N) =(0,\ldots 0,1)$[/tex] si ha [tex]$x_1\geq y_1$[/tex] e [tex]$x_N\leq y_N$[/tex], quindi non si può dire né che [tex]$(x_1,\ldots ,x_N)\preceq (y_1,\ldots ,y_N)$[/tex] né che [tex]$(y_1,\ldots ,y_N)\preceq (x_1,\ldots ,x_N)$[/tex].
** Purtroppo non conosco i dettagli.
Evidentemente se [tex]$N=2$[/tex] oppure [tex]$N=4$[/tex] la cosa si risolve introducendo il prodotto tramite gl'isomorfismi di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] con [tex]$\mathbb{C}$[/tex] e di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex] con [tex]$\mathbb{H}$[/tex] ([tex]$\mathbb{H}$[/tex] sono i quaternioni); tuttavia per gli altri [tex]$N$[/tex] mi pare non sia possibile seguire questa strada... Servirebbe un algebrista per illuminarci.
"gugo82":
Se ci pensi un po' il fatto che in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] sia possibile introdurre un ordine con tutte quelle proprietà dipende dal fatto che i numeri reali si possono rappresentare su una retta, ed una retta ha solo due versi di percorrenza; una volta che hai fissato quello che vuoi considerare "positivo", puoi introdurre la relazione d'ordine etc...
Al contrario nel piano e nello spazio (con cui si rappresentano [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]) non ci sono direzioni privilegiate di movimento, né quindi è possibile fissare un verso di percorrenza positivo in senso univoco.
credo che questa spiegazione, sia illuminante.
Grazie anche per le varie relazioni.
)
Condivido sulla "luminanza".
Sì, in effetti la "seconda relazione" si usa in ricerca operativa. E' molto importante in economia, per definire allocazioni (paretianamente) efficienti.
Ma, tornando alla domanda iniziale di clever: che c'azzecca l'ordine con gli intorni? Mi pare una premessa inessenziale alla domanda che fai.
Sì, in effetti la "seconda relazione" si usa in ricerca operativa. E' molto importante in economia, per definire allocazioni (paretianamente) efficienti.
Ma, tornando alla domanda iniziale di clever: che c'azzecca l'ordine con gli intorni? Mi pare una premessa inessenziale alla domanda che fai.
"Fioravante Patrone":
Ma, tornando alla domanda iniziale di clever: che c'azzecca l'ordine con gli intorni? Mi pare una premessa inessenziale alla domanda che fai.
Ok, la prof parlando di definizione di intorni circolare ha detto:
partiamo da $R$ troviamo un intervallo aperto del tipo: $(x_0-r, x_0+r)$
ovvero: $-r
generalizziamo in $R^n$:
per ogni $x_0$ appartenente ad $R^n$ con $r>0$ si ha un intorno di centro $x_0$ e raggio $r$ e dunque $|x-x_0|
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