Domanda sulla derivazione per le funzioni in modulo

[konan91]

Allora il mio cruccio è questo perchè, ad esempio, la funzione |x| non è derivabile in x=0??La risposta dovrebbe essere perchè il lim+ è diverso dal lim- giusto, però questa cosa non mi è chiara |x| lo vedo x, se x>0, e -x, se x<0, però il limite x->0 di -x o di x tende sempre a 0.Per capirci i valori che assumono i limiti mentre va verso 0 sono diversi per il limite dovrebbe essere definito ed essere 0.

[Camillo]

Devi calcolare il limite del rapporto incrementale della funzione $|x|$ , destro e sinistro per $ x=0 $ e vedrai che sono diversi.

$lim_(h rarr 0) (h-0)/h = 1 $
Adesso prosegui tu calcolando il limite del rapporto incrementale sinistro.

[konan91]

lim h->0+ =1
lim h->0- =-1
però se ad esempio prendo la funzione x|x| succede questo:
lim h->0= h|h|/h=|h|
lim+ = h =0
lim-= -h=0
però il loro limite dovrebbe essere 0, 0+ e 0- per la precisione, eppure per quanto detto non dovrebbe essere derivabile in 0

[ciampax]

La funzione $f(x)=x|x|$ è derivabile in $0$!

[konan91]

Ok però c'è una altra cosa che vorrei chiedervi, quali sono le condizioni per cui una funzione è derivabile in unpunto, che io sappia sono l'esistenza del limite del rapporto incrementale e la continuità in quel punto, ho scordato qualcosa?

[ciampax]

Il punto deve essere interno al dominio. Per il resto basta l'esistenza finita del limite del rapporto incrementale (la continuità nel punto risulta una "conseguenza" della derivabilità).