Domanda sulla definizione dei limiti legata al suo grafico
Salve a tutti, ho un problema, non riesco a legare bene (forse l'ho capita ma qualche caso mi sfugge) la definizione di limite con la visione grafica. Premetto che credo mi siano ben chiari i concetti intuitivi di limite, intorno, punto di accumulazione e massimi/minimi assoluti e non.
Il mio problema è che, presa la formula:
$\lim_{x \to \x_0}f(x)$ = +$\infty$ con f(x) funzione generica con minimo e massimo assoluti e relativi. Ho che il grafico sarà all'incirca questo:
Con minimo assoluto in f(-4), massimo assoluto in f(+4), massimo relativo in f(-2.5) circa e minimo relativo in f(+1.8) circa.
Il mio dubbio inizia adesso:
Se io ora scelgo un valore reale piccolissimo $\epsilon = 0.001$ e lo sommo e sottraggo ad f(-2.5) ho che la linea tracciata dal grafico delle ordinate sarà $f(-2.5) - \epsilon$ e toccherà il grafico in due punti. Ora la mia domanda è:
il delta che devo prendere in relazione a questo $\epsilon$ quanto piccolo lo scelgo? Cioè sarà la perpendicolare verticale al punto in cui f(-2.5) - $\epsilon$ toccherà la funzione. Spero di essermi spiegato a dovere. Seguirà un'altra domanda. Per favore dotatevi di pazienza ed aiutatemi.
Il mio problema è che, presa la formula:
$\lim_{x \to \x_0}f(x)$ = +$\infty$ con f(x) funzione generica con minimo e massimo assoluti e relativi. Ho che il grafico sarà all'incirca questo:
Con minimo assoluto in f(-4), massimo assoluto in f(+4), massimo relativo in f(-2.5) circa e minimo relativo in f(+1.8) circa.
Il mio dubbio inizia adesso:
Se io ora scelgo un valore reale piccolissimo $\epsilon = 0.001$ e lo sommo e sottraggo ad f(-2.5) ho che la linea tracciata dal grafico delle ordinate sarà $f(-2.5) - \epsilon$ e toccherà il grafico in due punti. Ora la mia domanda è:
il delta che devo prendere in relazione a questo $\epsilon$ quanto piccolo lo scelgo? Cioè sarà la perpendicolare verticale al punto in cui f(-2.5) - $\epsilon$ toccherà la funzione. Spero di essermi spiegato a dovere. Seguirà un'altra domanda. Per favore dotatevi di pazienza ed aiutatemi.
Risposte
ma $x_0$ qual è? $+oo$ o $-2.5$?
Inoltre la definizione più generale di limite l'hai data con gli insiemi e intorni o solo con $\epsilon$ e $\delta_\epsilon$?
Inoltre la definizione più generale di limite l'hai data con gli insiemi e intorni o solo con $\epsilon$ e $\delta_\epsilon$?
Ti ringrazio per la pazienza. Allora, io parto dalla definizione di limite che conosco, che è:
$\lim_(x->x_0) f(x)=L$ con $L in R$
è un limite se:
$AA \epsilon in R$ con $\epsilon > 0$ $EE \delta_\epsilon in R$ con $\delta_\epsilon > 0 : |f(x)-L|<\epsilon$ $AA x in X rArr |x-x_0|<\delta_\epsilon$
Per quel che riguarda $x_0$, $x_0$ è pari a $+\infty$, è solo un generico punto di accumulazione. Il grafico riportato sotto potrebbe essere plausibile con il limite generico scritto sotto. Ora ripeto qui la mia domanda. Qual'è il criterio in base al quale io scelgo $\delta_\epsilon$ in base a $\epsilon$? E sopratutto graficamente dove lo pongo? A che punto dell'asse di x? Per favore chiaritemi questo punto. Grazie.
$\lim_(x->x_0) f(x)=L$ con $L in R$
è un limite se:
$AA \epsilon in R$ con $\epsilon > 0$ $EE \delta_\epsilon in R$ con $\delta_\epsilon > 0 : |f(x)-L|<\epsilon$ $AA x in X rArr |x-x_0|<\delta_\epsilon$
Per quel che riguarda $x_0$, $x_0$ è pari a $+\infty$, è solo un generico punto di accumulazione. Il grafico riportato sotto potrebbe essere plausibile con il limite generico scritto sotto. Ora ripeto qui la mia domanda. Qual'è il criterio in base al quale io scelgo $\delta_\epsilon$ in base a $\epsilon$? E sopratutto graficamente dove lo pongo? A che punto dell'asse di x? Per favore chiaritemi questo punto. Grazie.
"carlo1983":
$\lim_{x \to \x_0}f(x)$ = +$\infty$ con f(x) funzione generica con minimo e massimo assoluti e relativi.
Scusami ma io ancora non ti seguo. Per la funzione da te disegnata, vale questo limite? Se la risposta è si, per te chi è $x_0$?
Per la funzione "da me" disegnata credo io che il grafico sia plausibile. $f(x)->+\infty$ per $x->+\infty$, ma adesso che me lo chiedi ho qualche dubbio latente (intendo dire che se così non fosse, allora ciò che credevo di aver capito sui limiti è TUTTO sbagliato).
Quindi per me $x_0$ è $+\infty$
Quindi per me $x_0$ è $+\infty$
"Intuitivamente" sembra che per la tua funzione $lim_(x->+oo) f(x)=+oo$. Però, scusa, non potresti postare l'espressione analitica della $f(x)$? Così vediamo subito se il limite è giusto o no... Grazie.
Se ti dovessi dire guardando il grafico, io direi per $x->4$ la funzione sembra tendere a $+infty$
"leena":
Se ti dovessi dire guardando il grafico, io direi per $x->4$ la funzione sembra tendere a $+infty$
Tu dici? E' vero, potrebbe anche essere. Io pensavo che non si "impennasse" così tanto... A me sembrava che andasse su, ma non così rapidamente, per cui pensavo a $x->+oo$.
Comunque, nulla vieta a quella $f$ di avere un asintoto verticale $x=4$. Sarà solo l'espressione analitica di $f$ a togliere ogni dubbio.
Si infatti
Ok, ora ho capito qual'è l'inghippo che non ci faceva comprendere a vicenda e me ne scuso. Il grafico è una immagine che ho trovato in rete e che mostra punti di massimo e minimo relativi e assoluti, ecco perchè ho scelto questa. Consideratela come una immagine tagliata male che tende a $+-\infty$ per $x->+-\infty$. Una funzione plausibile sarebbe $f(x)=x^3+x^2-x$
Ok però fai attenzione che le definizioni di limite cambiano a seconda che $x->x_0$ con $x_0$ finito o $x->+infty$.
A te quale interessa capire?
A te quale interessa capire?
"leena":
Ok però fai attenzione che le definizioni di limite cambiano a seconda che $x->x_0$ con $x_0$ finito o $x->+infty$.
A te quale interessa capire?
Giustissimo.
Allora dò anche la definizione di limite $x->+-\infty$:
$lim_(x->+\infty) f(x) = +\infty$ solo se:
$AA M > 0 EE x_M in R : AA x>x_M rArr f(x)>M$
Va fatto lo stesso per $f(x)
Detto questo la mia domanda è:
Come scelgo il delta nel caso finito? E come lo pongo sul'asse x?
"leena":
Ok però fai attenzione che le definizioni di limite cambiano a seconda che $x->x_0$ con $x_0$ finito o $x->+infty$.
A te quale interessa capire?
Giustissimo.
Allora dò anche la definizione di limite $x->+-\infty$:
$lim_(x->+\infty) f(x) = +\infty$ solo se:
$AA M > 0 EE x_M in R : AA x>x_M rArr f(x)>M$
Va fatto lo stesso per $f(x)
Detto questo la mia domanda è:
Come scelgo il delta nel caso finito? E come lo pongo sul'asse x? E nel caso infinito?
Grazie per la pazienza.
"carlo1983":
$\lim_(x->x_0) f(x)=L$ con $L in R$
è un limite se:
$AA \epsilon in R$ con $\epsilon > 0$ $EE \delta_\epsilon in R$ con $\delta_\epsilon > 0 : |f(x)-L|<\epsilon$ $AA x in X rArr |x-x_0|<\delta_\epsilon$
Il $\delta$ lo puoi prendere a tuo piacimento. Semplicemente la definizione ti dice che esiste questo valore, poi quanto vale non ha importanza, l'importante è che soddisfi la disuguaglianza $|x-x_0|<\delta_\epsilon$.
Ok, grazie, ma ora faccio un'altra domanda, che mi preme maggiormente:
Nel caso la funzione sia cosante, del tipo f(x)=4 ad esempio, l'$\epsilon$ ch scelgo, graficamente, come intercetta il grafico? Non credo lo tocchi, quindi se non so come posizionare $\epsilon$ figuriamoci se so come scegliere/posizionare $\delta$. Sono evidentemente confuso, mi chiarireste questo concetto per favore?
Nel caso la funzione sia cosante, del tipo f(x)=4 ad esempio, l'$\epsilon$ ch scelgo, graficamente, come intercetta il grafico? Non credo lo tocchi, quindi se non so come posizionare $\epsilon$ figuriamoci se so come scegliere/posizionare $\delta$. Sono evidentemente confuso, mi chiarireste questo concetto per favore?
$|f(x)-L|<\epsilon$ vuol dire $-\epsilon
$|x-x_0|<\delta_\epsilon$ vuol dire $-\delta_\epsilon
cioè semplicemente queste disuguaglianze ti dicono che la x si deve trovare in un intervallo del tipo $(x_0-\delta_\epsilon,x_0+\delta_\epsilon)$ e la funzione $f(x)$ si deve trovare in un intervallo del tipo $(L-\epsilon,L+\epsilon)$
Sul grafico devi segnare questi intervalli..
$|x-x_0|<\delta_\epsilon$ vuol dire $-\delta_\epsilon
cioè semplicemente queste disuguaglianze ti dicono che la x si deve trovare in un intervallo del tipo $(x_0-\delta_\epsilon,x_0+\delta_\epsilon)$ e la funzione $f(x)$ si deve trovare in un intervallo del tipo $(L-\epsilon,L+\epsilon)$
Sul grafico devi segnare questi intervalli..
Ora mi è tutto più chiaro. Grazie mille per aver fugato ogni mio dubbio con celerità e pazienza.
Per quanto riguarda la tua funzione $f(x)=4$
Vogliamo calcolare il limite, ad es. per $x->2$
Io ho scelto $epsilon$ uguale a 0.5 e $delta$ uguale a 0.3.
Ecco il grafico un po' casereccio:
[asvg]axes("labels");
line([-0.5,3.7], [0.5,3.7]);
line([-0.5,4.3], [0.5,4.3]);
line([1.5,0.5], [1.5,-0.5]);
line([2.5,0.5], [2.5,-0.5]);
stroke="green";
plot("4");
stroke="black";
dot([2, 4]);[/asvg]
Quei trattini sugli assi indicano gli intervalli di cui ti parlavo prima..
Spero di non averti confuso di nuovo le idee..
Vogliamo calcolare il limite, ad es. per $x->2$
Io ho scelto $epsilon$ uguale a 0.5 e $delta$ uguale a 0.3.
Ecco il grafico un po' casereccio:
[asvg]axes("labels");
line([-0.5,3.7], [0.5,3.7]);
line([-0.5,4.3], [0.5,4.3]);
line([1.5,0.5], [1.5,-0.5]);
line([2.5,0.5], [2.5,-0.5]);
stroke="green";
plot("4");
stroke="black";
dot([2, 4]);[/asvg]
Quei trattini sugli assi indicano gli intervalli di cui ti parlavo prima..
Spero di non averti confuso di nuovo le idee..
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