Domanda sul teorema di De l' Hopital
Esiste un modo di dimostrare tale teorema senza ricorrere al teorema di Cauchy?
Saluti!
Saluti!
Risposte
X@ViciousGoblin, e x@ dissonance. Vi ringrazio intanto per i chiarimenti che mi avete fin qui dato, sicuramente molto interessanti, mi sono di molto aiuto nella comprensione dell'argomento!!
x@ViciousGoblin. Volevo porti ancora una domanda, se invece di una qualsiasi funzione $f(x)$, ho una serie polinomiale convergente in un intorno $[0,x]$ dell' origine, da cui posso ricavare il valore della funzione in zero e delle derivate successive sino all'ennesima sempre in $0$, cioè $f(0),f'(0),f''(0),f'''(0),....f^(n-1)(0)$, in questo caso posso iterare il teorema di lagrange come in precedenza ed otterrò l'espressione in serie di taylor $f(x)= f(0)+ f'(0)x +f''(0)x^2/2 +f'''(0)x^3/(3!) +...+f^n(phi_n)x^n/(n!)$ con $0
x@ViciousGoblin. Volevo porti ancora una domanda, se invece di una qualsiasi funzione $f(x)$, ho una serie polinomiale convergente in un intorno $[0,x]$ dell' origine, da cui posso ricavare il valore della funzione in zero e delle derivate successive sino all'ennesima sempre in $0$, cioè $f(0),f'(0),f''(0),f'''(0),....f^(n-1)(0)$, in questo caso posso iterare il teorema di lagrange come in precedenza ed otterrò l'espressione in serie di taylor $f(x)= f(0)+ f'(0)x +f''(0)x^2/2 +f'''(0)x^3/(3!) +...+f^n(phi_n)x^n/(n!)$ con $0
@dissonance. concordo su tutto.
@francicko: Non mi riesce neanche questo
.
Supponiamo che $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ per $x$ in un intervallo $]x_0-r,x_0+r[$ e cerchiamo la formula di Taylor
con resto di Lagrange di ordine 2.
Diamo per buono che $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_{n}(x-x_0)^{n-1}$ e che $f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}(x-x_0)^{n-2}$.
Dopo un po' di tentativi la cosa migliore mi sembra tentare applicare Lagrange alla funzione
$h(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)}$
nota che $h(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^{n-1}$, come si vede facilmente, da cui $h(x_0)=a_1=f'(x_0)$ e $h'(x)=\sum_{n=2}^\infty (n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}$ (in particolare $h'(x_0)=a_2=\frac{f''(x_0)}{2}$).
Se applico Lagrange ad $h(x)$ trovo $\xi$ tale che:
$\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=h'(\xi)=\sum_{n=2}^\infty (n-1)a_{n}(\xi-x_0)^{n-2}$.
A questo punto mi servirebbe che $\sum_{n=2}^\infty (n-1)a_{n}(\xi-x_0)^{n-2}$ fosse eguale a $\frac{f''(\eta)}{2}$, cioè a $\frac{1}{2}\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}(\eta-x_0)^{n-2}$ -- non vedo come farlo.
Peraltro se ti metti nelle serie di potenze (cioè nemme funzioni analitiche) probabilmente puoi fare benissimo a meno della forma di Taylor con resto di Lagrange, dato che hai la formula:
$\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\cdots-\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^{k+1}}=\sum_{n=k+1}^\infty n(n-1)\cdots(n-k)a_n(x-x_0)^{n-k-1}$
che ti dice molto di più
@francicko: Non mi riesce neanche questo
.Supponiamo che $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ per $x$ in un intervallo $]x_0-r,x_0+r[$ e cerchiamo la formula di Taylor
con resto di Lagrange di ordine 2.
Diamo per buono che $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_{n}(x-x_0)^{n-1}$ e che $f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}(x-x_0)^{n-2}$.
Dopo un po' di tentativi la cosa migliore mi sembra tentare applicare Lagrange alla funzione
$h(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)}$
nota che $h(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^{n-1}$, come si vede facilmente, da cui $h(x_0)=a_1=f'(x_0)$ e $h'(x)=\sum_{n=2}^\infty (n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}$ (in particolare $h'(x_0)=a_2=\frac{f''(x_0)}{2}$).
Se applico Lagrange ad $h(x)$ trovo $\xi$ tale che:
$\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=h'(\xi)=\sum_{n=2}^\infty (n-1)a_{n}(\xi-x_0)^{n-2}$.
A questo punto mi servirebbe che $\sum_{n=2}^\infty (n-1)a_{n}(\xi-x_0)^{n-2}$ fosse eguale a $\frac{f''(\eta)}{2}$, cioè a $\frac{1}{2}\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}(\eta-x_0)^{n-2}$ -- non vedo come farlo.
Peraltro se ti metti nelle serie di potenze (cioè nemme funzioni analitiche) probabilmente puoi fare benissimo a meno della forma di Taylor con resto di Lagrange, dato che hai la formula:
$\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\cdots-\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^{k+1}}=\sum_{n=k+1}^\infty n(n-1)\cdots(n-k)a_n(x-x_0)^{n-k-1}$
che ti dice molto di più
Consultando alcuni testi di analisi 1 , ho visto che la dimostrazione della serie di taylor con resto di lagrange, che fa uso solamente del teorema di Rolle, pertanto le cose che ho asserito riguardo a de l'Hopital secondo me restano in qualche modo valide, inoltre osservavo che il fatto che la funzione $logx$ non può essere sviluppata in serie è dovuto che nel punto $0$ tale funzione non é definita, per avere uno sviluppo in serie di una funzione logaritmica bisogna prendere una funzione necessariamente definita in $0$, come ad esempio $log(1+x)$, in conseguenza la sua derivata diventa $1/(x+1)$, pertanto il loro sviluppo in serie diventa $log(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+.....$ ed $1/(x+1)=1-x+x^2-x^3+.....$, volendo quest'ultima si può ottenere senza l'uso di taylor, ed integrando per termine si ottiene lo sviluppo in serie della funzione integranda, inoltre se voglio calcolare il limite di $xlogx$ per $x->0$, posso in modo equivalente andare a calcolare il limite per $x->-1^+$ di $(x+1)log(x+1)=log(x+1)/(1/(x+1))$, e sostituendo il valore $-1$ nei rispettivi sviluppi in serie si ha: $(-1-1/2-1/3-1/4-....)/(1+1+1+1+...+1...)$, si vede così che la serie a denominatore tende ad $infty$ più velocemente pertanto il valore del limite è $0$, sono giuste queste considerazioni?
x@ViciousGoblin, le cose da te dette sono molto apprezzabili!
Detto questo però in me le perplessità a riguardo non sono ancora sopite, la mia domanda a questo punto è :
come mai si può dimostrare la serie di taylor utilizzando il teorema di Rolle, volendo usando il teorema di Cauchy, e non si può utilizzare il teorema di lagrange? In fondo come tu hai già asserito questi teoremi sono tra loro in qualche modo equivalenti, cioè si possono ricavare l'uno dall'altro.
Detto questo però in me le perplessità a riguardo non sono ancora sopite, la mia domanda a questo punto è :
come mai si può dimostrare la serie di taylor utilizzando il teorema di Rolle, volendo usando il teorema di Cauchy, e non si può utilizzare il teorema di lagrange? In fondo come tu hai già asserito questi teoremi sono tra loro in qualche modo equivalenti, cioè si possono ricavare l'uno dall'altro.
Stai facendo un minestrone, non si capisce più niente. Il teorema di Rolle è banalmente un caso particolare del teorema di Lagrange, quindi non ha senso ciò che dici nell'ultimo post. Quanto al penultimo, il cambio di variabile \(x\mapsto x+1\) non è sufficiente a risolvere l'indeterminazione. Difatti non ti ha portato a null'altro se non a scrivere la cosa priva di senso
\[
\frac{-1-\frac{1}{2}\ldots}{1+1+1+\ldots}, \]
in cui sia numeratore sia denominatore sono serie non convergenti. Da qui non si può desumere proprio nulla. (Sono d'accordo sull'idea intuitiva che il numeratore è "più piccolo" del denominatore e che quindi il limite debba essere zero. Ma non conta come dimostrazione formale. Non si possono manipolare gli infiniti così, a occhio).
\[
\frac{-1-\frac{1}{2}\ldots}{1+1+1+\ldots}, \]
in cui sia numeratore sia denominatore sono serie non convergenti. Da qui non si può desumere proprio nulla. (Sono d'accordo sull'idea intuitiva che il numeratore è "più piccolo" del denominatore e che quindi il limite debba essere zero. Ma non conta come dimostrazione formale. Non si possono manipolare gli infiniti così, a occhio).
x@dissonance.
Sono daccordo di quello che dici sul penultimo post , può passare come idea intuitiva ma di certo non conta come dimostrazione formale!
Per quanto riguarda invece l'ultimo post, sicuramente ho posto male la domanda, avendo consultato alcuni testi di analisi, ho visto che nella maggior parte delle dimostrazioni viene usato il teorema di Rolle, quindi non è strettamente necessario l'uso di Cauchy per arrivare a dimostrare lo sviluppo in serie di Taylor, giusto?
Sono daccordo di quello che dici sul penultimo post , può passare come idea intuitiva ma di certo non conta come dimostrazione formale!
Per quanto riguarda invece l'ultimo post, sicuramente ho posto male la domanda, avendo consultato alcuni testi di analisi, ho visto che nella maggior parte delle dimostrazioni viene usato il teorema di Rolle, quindi non è strettamente necessario l'uso di Cauchy per arrivare a dimostrare lo sviluppo in serie di Taylor, giusto?
Caro francicko, come detto in uno dei primi post ci stiamo muovendo su un terreno un po' scivoloso. In effetti dato che Cauchy si può dimostrare a partire da Lagrange è chiaro allora che tutte le dimostrazioni in cui si usa Cauchy possono essere adattate in modo da usare solo Lagrange (basta inserire all'inizio la dim. di Cauchy a partire da Lagrange....).
Dunque quando diciamo "i dimostra usando solo Lagrange" diciamo qualcosa in modo intutivo che non è facile formalizzare bene (facciamo finta sostanzialmente di non sapere che Cauchy segue da Lagrange). Ora non sono sicuro che e dimostrazioni che hai trovato usino "veramente" solo Rolle - tutte le dimostrazioni che conosco prima o poi passano da Cauchy.
Un'altro punto di vista sarebbe di dimostrare il Teorema dell'Hospital (era da qui che eravamo partiti vero ???) solo per le funzioni che sono somma di serie di potenze, dicendo cioè che se $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ e $g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$
(in un intorno di $x_0$) allora detto $n_1$ il primo $n$ per cui $a_n\ne0$ e $n_2$ il primo $n$ per cui $b_n\ne0$ si ha:
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{f(x)}=\frac{a_{n_1}}{b_{n_2}}$ se $n_1=n_2$, mentre il limite fa zero quando $n_1>n_2$ e infinito quando $n_1
Per dimostrare (*) non servono né Cauchy né Lagrange (solo dei teoremi sulle serie di funzioni) e forse anche per la (**) (data la particolare struttura delle serie) potrebbero bastare discorsi algebrici (ma non sono sicuro).
Dunque quando diciamo "i dimostra usando solo Lagrange" diciamo qualcosa in modo intutivo che non è facile formalizzare bene (facciamo finta sostanzialmente di non sapere che Cauchy segue da Lagrange). Ora non sono sicuro che e dimostrazioni che hai trovato usino "veramente" solo Rolle - tutte le dimostrazioni che conosco prima o poi passano da Cauchy.
Un'altro punto di vista sarebbe di dimostrare il Teorema dell'Hospital (era da qui che eravamo partiti vero ???) solo per le funzioni che sono somma di serie di potenze, dicendo cioè che se $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ e $g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$
(in un intorno di $x_0$) allora detto $n_1$ il primo $n$ per cui $a_n\ne0$ e $n_2$ il primo $n$ per cui $b_n\ne0$ si ha:
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{f(x)}=\frac{a_{n_1}}{b_{n_2}}$ se $n_1=n_2$, mentre il limite fa zero quando $n_1>n_2$ e infinito quando $n_1
Per dimostrare (*) non servono né Cauchy né Lagrange (solo dei teoremi sulle serie di funzioni) e forse anche per la (**) (data la particolare struttura delle serie) potrebbero bastare discorsi algebrici (ma non sono sicuro).
x@ViciousGoblin.
Ti riporto una dimostrazione tratta dal libro di analisi 1 G. Stampacchia;
Teorema.(formula di taylor con termine di lagrange).
Sia $f(x)$ definita in un intervallo $]a,b[$ e sia $x_0$ appartenente a tale intervallo; Supponiamo che per ogni $x$ sempre appartenente a tale intervallo, esista la derivata di ordine $n+1$ di $f(x)$. Se per ogni $h$ tale che $x_0+h$ appartiene sempre all'intervallo $]a,b[$ poniamo :
$R_n(h)=f(x_0+h)-[f(x_0)+hf'(x_0)+h^2/2f''(x_0)+.....+h^n/(n!)f^n(x_0)]$, allora esiste almeno un punto $phi$ $in$ $]x_0,x_0+h[$ se $h>0$ (oppure se $h<0$ $phi$ $in$ $]x_0+h,x_0[$ ) tale che :
$R_n(h)=h^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(phi)$.
Supponiamo $h>0$.
Posto: $q(h)=R_n(h)/h^(n+1)$ avremo:
$f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0)-...-h^n/(n!)f^n(x_0)-h^(n+1)q(h)=0$.
Consideriamo adesso la funzione $alpha(x)$ che per ogni $x$ $in$ $[x_0,x_0+h]$ data da:
$alpha(x)= f(x_0+h) - f(x)- (x_0+h-x)/1f'(x)-(x_0+h-x)^2/(2!)f''(x)-....-(x_0+h-x)^n/(n!)f^n(x)-(x_0+h-x)^(n+1)q(h)$.
Si deduce facilmente che questa funzione si annulla agli estremi di tale intervallo, ed é derivabile in ogni punto $x$ di esso.
Inoltre si ha $alpha'(x)= -(x_0+h-x)^n/(n!)f^(n+1)(x)+(n+1)(x_0+h-x)^nq(h)$, ed potendo applicare il teorema di Rolle alla funzione $alpha(x)$ si conclude che esiste almeno un punto $phi$ dell'intervallo $]x_0,x_0+h[$ in cui risulta $alpha'(x)=0$ e quindi $q(h)=1/((n+1)!)f^(n+1)(phi)$, cioè $R_n(h)=h^(n+1)/((n+1)!)f^(n+1)(phi)$.
Spero nella fretta, di non aver commesso errori di trascrizione, quello che voglio far notare e che qui si utilizza semplicemente solo il teorema di Rolle, applicato ad una particolare funzione costruita ad hoc, e non si fa menzione di Cauchy, effettivamente poi se si va ad analizzare meglio la questione la dimostrazione si può benissimo fare solo con l'utilizzo di Cauchy, e questo , penso, perchè come giustamente dici , tutte le dimostrazioni che fanno uso solamente di Cauchy o di Rolle, in qualche modo sono deducibili l'una dall'altra, e in realtà si fa sempre uso di ambedue i teoremi anche se non si cita espressamente uno dei due.
A questo punto, ritornando alla questione del teorema di De l'Hopital, da cui eravamo partiti, il punto di vista di poter dedurre il teorema di De l'Hopital dallo sviluppo in serie di taylor, a mio modesto parere non è sbagliato, almeno credo.
Comunque ti ringrazio per avermi dato l'opportunità di avere potuto intraprendere questa proficua discussione, sto cercando di raccogliere altro materiale riguardo all'argomento , ed appena possibile lo posto.
Saluti!
Ti riporto una dimostrazione tratta dal libro di analisi 1 G. Stampacchia;
Teorema.(formula di taylor con termine di lagrange).
Sia $f(x)$ definita in un intervallo $]a,b[$ e sia $x_0$ appartenente a tale intervallo; Supponiamo che per ogni $x$ sempre appartenente a tale intervallo, esista la derivata di ordine $n+1$ di $f(x)$. Se per ogni $h$ tale che $x_0+h$ appartiene sempre all'intervallo $]a,b[$ poniamo :
$R_n(h)=f(x_0+h)-[f(x_0)+hf'(x_0)+h^2/2f''(x_0)+.....+h^n/(n!)f^n(x_0)]$, allora esiste almeno un punto $phi$ $in$ $]x_0,x_0+h[$ se $h>0$ (oppure se $h<0$ $phi$ $in$ $]x_0+h,x_0[$ ) tale che :
$R_n(h)=h^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(phi)$.
Supponiamo $h>0$.
Posto: $q(h)=R_n(h)/h^(n+1)$ avremo:
$f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0)-...-h^n/(n!)f^n(x_0)-h^(n+1)q(h)=0$.
Consideriamo adesso la funzione $alpha(x)$ che per ogni $x$ $in$ $[x_0,x_0+h]$ data da:
$alpha(x)= f(x_0+h) - f(x)- (x_0+h-x)/1f'(x)-(x_0+h-x)^2/(2!)f''(x)-....-(x_0+h-x)^n/(n!)f^n(x)-(x_0+h-x)^(n+1)q(h)$.
Si deduce facilmente che questa funzione si annulla agli estremi di tale intervallo, ed é derivabile in ogni punto $x$ di esso.
Inoltre si ha $alpha'(x)= -(x_0+h-x)^n/(n!)f^(n+1)(x)+(n+1)(x_0+h-x)^nq(h)$, ed potendo applicare il teorema di Rolle alla funzione $alpha(x)$ si conclude che esiste almeno un punto $phi$ dell'intervallo $]x_0,x_0+h[$ in cui risulta $alpha'(x)=0$ e quindi $q(h)=1/((n+1)!)f^(n+1)(phi)$, cioè $R_n(h)=h^(n+1)/((n+1)!)f^(n+1)(phi)$.
Spero nella fretta, di non aver commesso errori di trascrizione, quello che voglio far notare e che qui si utilizza semplicemente solo il teorema di Rolle, applicato ad una particolare funzione costruita ad hoc, e non si fa menzione di Cauchy, effettivamente poi se si va ad analizzare meglio la questione la dimostrazione si può benissimo fare solo con l'utilizzo di Cauchy, e questo , penso, perchè come giustamente dici , tutte le dimostrazioni che fanno uso solamente di Cauchy o di Rolle, in qualche modo sono deducibili l'una dall'altra, e in realtà si fa sempre uso di ambedue i teoremi anche se non si cita espressamente uno dei due.
A questo punto, ritornando alla questione del teorema di De l'Hopital, da cui eravamo partiti, il punto di vista di poter dedurre il teorema di De l'Hopital dallo sviluppo in serie di taylor, a mio modesto parere non è sbagliato, almeno credo.
Comunque ti ringrazio per avermi dato l'opportunità di avere potuto intraprendere questa proficua discussione, sto cercando di raccogliere altro materiale riguardo all'argomento , ed appena possibile lo posto.
Saluti!
@Lamar: credo che questo argomento sia già contenuto in un post precedente di questo thread:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p841435
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p841435
Devo dire che mi fa un certo effetto riaprire le pagine di questo forum dopo tutto questo tempo. Non riesco quasi a credere al fatto di avere scritto tutta quella roba...
@dissonance Ciao Giuseppe! tutto bene?
@Lamar Non ho capito bene a cosa rispondi (il precedente messaggio mi pare riguardasse in quali ipotesi si dimostra de l'Hospital, ma devo confessare di non averlo letto nel dettaglio).
Quello che dici è giusto ma mi pare un giro vizioso e usi l'ipotesi non necessaria dell'esistenza di \(\displaystyle f'(a) \) e \(\displaystyle g'(a)\ne0 \). Se mettiamo tutte le tue ipotesi, allora direi di scrivere tutto ciò che se ne ricava:
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a }\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)} \)
La seconda equaglianza dimostra che per la derivata basta avere limite per essere continua (prendi \(\displaystyle g(x)=x-a \); se no il risultato è un po' più generale).
Vado a dere un'occhiata in giro
@dissonance Ciao Giuseppe! tutto bene?
@Lamar Non ho capito bene a cosa rispondi (il precedente messaggio mi pare riguardasse in quali ipotesi si dimostra de l'Hospital, ma devo confessare di non averlo letto nel dettaglio).
Quello che dici è giusto ma mi pare un giro vizioso e usi l'ipotesi non necessaria dell'esistenza di \(\displaystyle f'(a) \) e \(\displaystyle g'(a)\ne0 \). Se mettiamo tutte le tue ipotesi, allora direi di scrivere tutto ciò che se ne ricava:
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a }\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)} \)
La seconda equaglianza dimostra che per la derivata basta avere limite per essere continua (prendi \(\displaystyle g(x)=x-a \); se no il risultato è un po' più generale).
Vado a dere un'occhiata in giro
@VG: Ué, ben ritrovato!
"ViciousGoblin":
Devo dire che mi fa un certo effetto riaprire le pagine di questo forum dopo tutto questo tempo. Non riesco quasi a credere al fatto di avere scritto tutta quella roba...
@dissonance Ciao Giuseppe! tutto bene?
@Lamar Non ho capito bene a cosa rispondi (il precedente messaggio mi pare riguardasse in quali ipotesi si dimostra de l'Hospital, ma devo confessare di non averlo letto nel dettaglio).
Quello che dici è giusto ma mi pare un giro vizioso e usi l'ipotesi non necessaria dell'esistenza di \(\displaystyle f'(a) \) e \(\displaystyle g'(a)\ne0 \). Se mettiamo tutte le tue ipotesi, allora direi di scrivere tutto ciò che se ne ricava:
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a }\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)} \)
La seconda equaglianza dimostra che per la derivata basta avere limite per essere continua (prendi \(\displaystyle g(x)=x-a \); se no il risultato è un po' più generale).
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