Domanda sul segno di una derivata
Ciao a tutti, ho questa funzione:
$$g(t,Z)=-e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Mi viene chiesto di calcolare la derivata prima rispetto a $t$, ed io la risolvo così:
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}- Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n -Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Il primo valore l'ho visto come $(-1)e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}$, quindi il $-1$ l'ho tolto in quanto costante.
A quanto pare i segni della derivata sono sbagliati e quindi la derivata è sbagliata, so che la domanda è banale però qualcuno può spiegarmi perché i segni non dovrebbero essere come ho scritto io?
Inoltre non capivo anche questo, sia $V_t$ una funzione definita come:
$$V_t=\sum_i^d\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:
$$\frac{\partial V}{\partial R}=-\sum_i^d(T_i-t)\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
$$\frac{\partial V}{\partial t}=\sum_i^d R(t,T_i)\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno? Eppure tutte e due dovrebbero averlo perché c'è il meno nell'esponente.
Grazie.
$$g(t,Z)=-e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Mi viene chiesto di calcolare la derivata prima rispetto a $t$, ed io la risolvo così:
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}- Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n -Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Il primo valore l'ho visto come $(-1)e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}$, quindi il $-1$ l'ho tolto in quanto costante.
A quanto pare i segni della derivata sono sbagliati e quindi la derivata è sbagliata, so che la domanda è banale però qualcuno può spiegarmi perché i segni non dovrebbero essere come ho scritto io?
Inoltre non capivo anche questo, sia $V_t$ una funzione definita come:
$$V_t=\sum_i^d\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:
$$\frac{\partial V}{\partial R}=-\sum_i^d(T_i-t)\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
$$\frac{\partial V}{\partial t}=\sum_i^d R(t,T_i)\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno? Eppure tutte e due dovrebbero averlo perché c'è il meno nell'esponente.
Grazie.
Risposte
Secondo me non è possibile aiutarti perché $Z$, $R$ e $V$ sembrano tutte dipendere a loro volta da $t$ a causa del pedice $t$ di $Z$ e $V$ e a causa dei del primo dei due argomenti della funzione $R$. Quindi, se così fosse, nelle derivate rispetto a $t$ di quelle funzioni devi considerare anche la loro dipendenza esplicita da $t$. Quali sono le espressioni esplicite di $Z$, $R$ e $V$?
"Mephlip":
Secondo me non è possibile aiutarti perché $Z$, $R$ e $V$ sembrano tutte dipendere a loro volta da $t$ a causa del pedice $t$ di $Z$ e $V$ e a causa dei del primo dei due argomenti della funzione $R$. Quindi, se così fosse, nelle derivate rispetto a $t$ di quelle funzioni devi considerare anche la loro dipendenza esplicita da $t$. Quali sono le espressioni esplicite di $Z$, $R$ e $V$?
Ciao, $t$ è semplicemente il tempo. Non c'è una forma esplicita di $R$, rappresenta un valore deterministico ad un certo istante $t$. Quindi $R$ è un vettore con valori da $t=0$ a $t=n$ e $Z$ è un vettore che contiene diversi $R$.
Le derivate non sono dipendenti, si tratta di mere derivate come quelle delle superiori. Solo che non capisco il motivo del segno.
Ok, sembra una discretizzazione del tempo. Comunque, un errore che vedo nella derivata di $g$ sono i segni del secondo e terzo termine. Infatti, se moltiplichi esplicitamente agli esponenti, ottieni che l'esponente del secondo esponenziale è $Z_{t,n}t-Z_{t,n}T_n$ e l'esponente dell'esponenziale all'interno della sommatoria è $Z_{t,i}t-Z_{t,i}T_i$. Quindi, quando derivi, gli esponenziali rimangono invariati ma, per il teorema di derivazione della funzione composta, devi moltiplicare il secondo termine per $Z_{t,n}$ e il terzo termine per $Z_{t,i}$. Quindi, se non ho capito male come si deve calcolare la derivata in questo contesto discretizzato, dovrebbe essere:
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Dimmi se ti torna, non sono bravo con i conti. Se ti torna, possiamo procedere con le altre derivate.
Comunque, ti consiglio caldamente di rivedere la terminologia: le derivate si calcolano, non si risolvono. Inoltre, quando hai detto: "Il $-1$ l'ho tolto in quanto costante", credo che tu intendessi dire: "Il $-1$ è una costante moltiplicativa, quindi per linearità della derivata posso moltiplicare la derivata per $-1$". Se così fosse, evita formulazioni così grezze che a un orale potrebbero far imbestialire il tuo interrogatore
.
Infine, per favore non quotare tutto il messaggio per rispondere ma solo una sua parte necessaria: se non c'è bisogno di quotare, usa il pulsante: "Rispondi" in alto a destra anziché il pulsante: "Cita".
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Dimmi se ti torna, non sono bravo con i conti. Se ti torna, possiamo procedere con le altre derivate.
Comunque, ti consiglio caldamente di rivedere la terminologia: le derivate si calcolano, non si risolvono. Inoltre, quando hai detto: "Il $-1$ l'ho tolto in quanto costante", credo che tu intendessi dire: "Il $-1$ è una costante moltiplicativa, quindi per linearità della derivata posso moltiplicare la derivata per $-1$". Se così fosse, evita formulazioni così grezze che a un orale potrebbero far imbestialire il tuo interrogatore
.Infine, per favore non quotare tutto il messaggio per rispondere ma solo una sua parte necessaria: se non c'è bisogno di quotare, usa il pulsante: "Rispondi" in alto a destra anziché il pulsante: "Cita".
Ciao ironhak,
Ha ragione il tuo professore.
Perché c'è il meno all'esponente, ma c'è anche il $- t$, quindi se derivi rispetto a $t$ non c'è alcun segno meno...
"ironhak":
Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:[...]
Ha ragione il tuo professore.
"ironhak":
Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno?
Perché c'è il meno all'esponente, ma c'è anche il $- t$, quindi se derivi rispetto a $t$ non c'è alcun segno meno...
"pilloeffe":
Ciao ironhak,
[quote="ironhak"]Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:[...]
Ha ragione il tuo professore.
"ironhak":
Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno?
Perché c'è il meno all'esponente, ma c'è anche il $- t$, quindi se derivi rispetto a $t$ non c'è alcun segno meno...
[/quote]Ciao grazie, giusto per chiarire, stai dicendo che:
$$\frac{\partial e^{-R(t,T)T+R(t,T)t } }{\partial t}=R(t,T)$$ perché il $-R(t,T)T$ non lo considero dato che è derivata rispetto a $t$?
Grazie
Hai usato simboli un po' diversi da quelli che hai usato in precedenza, ma sì l'idea è quella: la derivata rispetto a $t$ della quantità $ -R(t,T)T $ è nulla (visto che hai scritto che nonostante le apparenze $R(t,T) $ in realtà non dipende da $t$).
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