Domanda sul gradiente

[konan91]

Qualcuno potrebbe spiegarmi perchè il gradiente, quindi il vettore contenente le derivate parziali, stabilisce la direzione in cui la funzione cresce più velocemente???Grazie a tutti

[_prime_number]

Quando fai una derivata parziale, ti limiti a studiare il grafico della funzione lungo quella determinata direzione. Diciamo quindi che è come lavorare in una sola variabile, perché tieni tutte le altre fisse quando derivi. In questo modo puoi pensare la cosa come la normale derivata in $\mathbb{R}$ (con il suo significato di indicatore di crescenza/decrescenza, massimi/minimi, ecc.). Il gradiente contiene questa "analisi" in tutte le direzioni del sistema di riferimento.

Paola

[Mattz1]

Se si prende f: $AsubRR^n$ -> $RR$, A insieme aperto, funzione differenziabile in $x_0$ , con $x_0$ appartenente al dominio della funzione (quindi nel classico esempio di una funzione in due variabili, una notazione comune sarà ad esempio $(x_0,y_0)$); si può dire tra le altre cose che

1) f è continua in x0
2) f è derivabile lungo ogni direzione $v in RR^n$ (in particolare esistono le derivate parziali, che compongono il gradiente)
3) $(delf)/(delv) (x_0) = <\gradf(x_0), v>$ (dove ho indicato in < , > il prodotto scalare tra il gradiente di f in x0 e v, la direzione.

Si nota quindi che il valore massimo del modulo della derivata direzionale $|(delf)/(delv) (x_0)|$ si ha se v è parallelo a $\gradf(x_0)$ , da cui si capisce che la variazione massima di f si ha nella direzione del $\gradf(x_0)$, mentre la derivata è nulla per v perpendivolare a $\gradf(x_0)$


edit: ci ho messo così tanto a scrivere che nel frattempo era arrivata una risposta xD, beh un po' di formalismo non fa male

[konan91]

Grazie a tutti e due!

[gugo82]

@torky: Scommetto che tutto ciò che ha scritto Mattz c'è anche sul tuo libro di teoria, no?