Domanda sui ricoprimenti lebesguiani
Sia \(B\subset \mathbb{R}^{n}\). La misura esterna di \(B\) è data da \(\mu{B}=\inf A\) dove \(A\) è l'insieme dei ricoprimenti lebesguiani di \(B\). Come faccio a mostrare che fissato \(\epsilon >0\) esiste un ricoprimento \(a_{0}\in A\) tale che \(\mu B
La prima disuguaglianza è ovvia. Per la seconda, supponendo che \(\inf A = \min A\) so che esiste un ricoprimento di misura \(\mu B\) che ha al suo interno generico plurirettangolo compatto (supponiamo di essere in dimensione \(2\)) \([a_{1}^{2},b_{1}^{2}]\times [a_{2}^{2},b_{2}^{2}]\) quindi \(\mu B=[\inf A-(b_{1}^{2}-a_{1}^{2})(b_{2}^{2}-a_{2}^{2})]+(b_{1}^{2}-a_{1}^{2})(b_{2}^{2}-a_{2}^{2})\) e con una banale manipolazione posso allungare un lato di una quantità tale da ottenere dal ricoprimento di misura \(\mu B\) il ricoprimento cercato.
Se non è quello il caso, non saprei da quale ricoprimento partire in modo da allungare un lato ed ottenere il ricoprimento cercato. Potrebbe essere che l'applicazione misura \(\mu: A\rightarrow (\mu B,+\infty]\subset \mathbb{R}\) definita sui singoli plurirettangoli come \((b_{1}^{2}-a_{1}^{2})...(b_{N}^{2}-a_{N}^{2})\) sia suriettiva ma questo mi sembra solo un altro modo di scrivere il problema. Sto inciampando su una banalità?
La prima disuguaglianza è ovvia. Per la seconda, supponendo che \(\inf A = \min A\) so che esiste un ricoprimento di misura \(\mu B\) che ha al suo interno generico plurirettangolo compatto (supponiamo di essere in dimensione \(2\)) \([a_{1}^{2},b_{1}^{2}]\times [a_{2}^{2},b_{2}^{2}]\) quindi \(\mu B=[\inf A-(b_{1}^{2}-a_{1}^{2})(b_{2}^{2}-a_{2}^{2})]+(b_{1}^{2}-a_{1}^{2})(b_{2}^{2}-a_{2}^{2})\) e con una banale manipolazione posso allungare un lato di una quantità tale da ottenere dal ricoprimento di misura \(\mu B\) il ricoprimento cercato.
Se non è quello il caso, non saprei da quale ricoprimento partire in modo da allungare un lato ed ottenere il ricoprimento cercato. Potrebbe essere che l'applicazione misura \(\mu: A\rightarrow (\mu B,+\infty]\subset \mathbb{R}\) definita sui singoli plurirettangoli come \((b_{1}^{2}-a_{1}^{2})...(b_{N}^{2}-a_{N}^{2})\) sia suriettiva ma questo mi sembra solo un altro modo di scrivere il problema. Sto inciampando su una banalità?
Risposte
Bump.
Lo puoi dire per definizione di estremo inferiore.
"5mrkv":
Non ci arrivo.
\[ \mu(B)=\inf\{\sum_{i\in I}\mu (A_{i})|\{A_{i}\}_{i \in I}\in \mbox{r.l. di} B\} \]
Poi? Cosa uso?
Come già detto, devi solo usare la definizione di estremo inferiore:
per ogni \(\epsilon > 0\) esiste un elemento dell'insieme a destra (dunque un ricoprimento di \(B\)) tale che
\[
\mu(B) \leq \sum_{i\in I} \mu(A_i) < \mu(B) + \epsilon.
\]
Considero l'insieme \(a\). Vale che \(\inf a\leq a_{0}\) \(\forall a_{0}\in a\). Se non esistesse \(a_{0}\in a\) tale che \(a_{0}<\inf a +\epsilon\) allora varrebbe \(\inf a +\epsilon \leq a_{0}\) \(\forall a_{0}\in a\). Questo significa che \(\inf a+\epsilon\) è un minorante. Siccome \(\inf a\) è il maggiore fra i minoranti giungiamo ad un assurdo. Questo vale per qualsiasi insieme con un ordinamento totale?
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