Domanda sui numeri reali

[Talete 14]

Perchè nell'analisi matematica standard la trattazione dei numeri reali viene fatta con le sezioni di Dedekind e non con il metodo delle classi contigue di Cantor? Grazie.

[Lord K]

Reputo (ma non ho fondamenti certi) che la scelta sia solo di carattere didattico. Le definizioni dei reali che poi seguono sono comunque ed ovviamente equivalenti...

[dissonance]

Secondo me per i fini dell'analisi è ininfluente. I numeri reali si definiscono assiomaticamente (come campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore, avente $QQ$ come sottocampo), e così le costruzioni a cui fai riferimento sono solo due dimostrazioni diverse dello stesso teorema: quello di esistenza di un campo con queste proprietà.

[Fioravante Patrone1]

"Talete 14":Perchè nell'analisi matematica standard la trattazione dei numeri reali viene fatta con le sezioni di Dedekind e non con il metodo delle classi contigue di Cantor? Grazie.

Sapresti portare elementi di "prova" per la tua affermazione?
La giustifichi sulla base di una accurata disamina di cio' che viene insegnato nei corsi di analisi dell'universita' (di tutto il mondo) e sulla base di una lettura critica dei libri di testo di analisi (di tutto il mondo)?
O potresti precisare cosa si intende per analisi matematica standard?

Per quanto ne so io, l'unica differenza rilevante nell'approccio fra Dedekind e Cantor e' che il secondo metodo richiede di introdurre esplicitamente l'assioma archimedeo. Che nell'altro approccio puo' invece essere dedotto come conseguenza dell'assioma di separazione tra sezioni di Dedekind.

[Talete 14]

La diferenza traanalisi standard e non è che l'analisi standard si basa sulla definizine di limite: i limiti eliminano gli infinitesimi e gli infiniti attuali(Che terra terra significa infinitesimi e basta o infiniti e basta) sostituendoli con l'infinito potenziale(Cioè una quantità finita a incrementabile a piacere) e con funzioni che tendono a 0. La non-standard invece non considera la definizione di limite, definizione di limite che è alla base della trattazione Cantoriana dei reali:siano A e B due sottoinsiemi di $Q$ tali che:
1)(A unito a B) coincide con $q$
2) Tutti gli elementi di $A$ sono maggiori di tutti gli elementi(numeri razionali) di$B$
3) Per ogni $epsilon>0$ eiste a appartenente ad $A$ e b appartenente a$B$ $a-b0$.

[Fioravante Patrone1]

Ah, beh, quindi al tua affermazione era semplicemente falsa.