Domanda sui moltiplicatori di Lagrange
Ciao a tutti. E' un po' che non bazzico il forum e me ne torno con una domanda un po' stupida. Ieri stavo leggendo un passo di cui mi appresto a citare il testo:
La funzione da minimizzare non dovrebbe essere invece $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} ( \sum b_{ik}q_iq_k -1)$ ?
Preciso che, contestualizzando, non mi interessa calcolare il valore del minimo (vincolato), ma semplicemente i valori di $q_i$ per cui esso avviene. Questo mi ha portato a pensare che magari l'aggiunta del $-1$ sia immateriale, ma non riesco a capire il perché (sempre che la mia intuizione sia corretta).
Grazie in anticipo
Ric
Our problem is to find the stationary value of $s^2 = \sum a_{ik} q_i q_k$ under the auxiliary condition the we move on the surface $\sum b_{ik}q_iq_k = 1$.
We drop the auxiliary condition and minimize $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} \sum b_{ik}q_iq_k$.
La funzione da minimizzare non dovrebbe essere invece $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} ( \sum b_{ik}q_iq_k -1)$ ?
Preciso che, contestualizzando, non mi interessa calcolare il valore del minimo (vincolato), ma semplicemente i valori di $q_i$ per cui esso avviene. Questo mi ha portato a pensare che magari l'aggiunta del $-1$ sia immateriale, ma non riesco a capire il perché (sempre che la mia intuizione sia corretta).
Grazie in anticipo
Ric
Risposte
Ciao dRic,
Effettivamente il vincolo nella forma canonica usuale si esprime con $ g(q_i, q_k) = \sum b_{ik}q_iq_k - 1 = 0 $. Errore nel testo? Fra l'altro perché $1/\lambda $? Avrei scritto la funzione da minimizzare semplicemente nel modo seguente:
$ \mathcal{L}(q_i, q_k, \lambda) = s^2 - \lambda (\sum b_{ik}q_iq_k - 1) = \sum a_{ik}q_iq_k - \lambda (\sum b_{ik}q_iq_k - 1) $
Quest'ultima derivata rispetto a $\lambda $ e posta uguale a $0 $ fornisce l'equazione del vincolo. Capisco che sia equivalente, ma mi pare un'inutile complicazione.
Un'altra spiegazione potrebbe essere che siccome non gli interessa riottenere l'equazione del vincolo e vuole derivare $\mathcal{L}(q_i, q_k, \lambda) $ solo rispetto a $q_i $ e $q_k $ della costante aggiuntiva $1/\lambda $ gli interessa poco...
"dRic":
under the auxiliary condition the we move on the surface $ \sum b_{ik}q_iq_k = 1 $
Effettivamente il vincolo nella forma canonica usuale si esprime con $ g(q_i, q_k) = \sum b_{ik}q_iq_k - 1 = 0 $. Errore nel testo? Fra l'altro perché $1/\lambda $? Avrei scritto la funzione da minimizzare semplicemente nel modo seguente:
$ \mathcal{L}(q_i, q_k, \lambda) = s^2 - \lambda (\sum b_{ik}q_iq_k - 1) = \sum a_{ik}q_iq_k - \lambda (\sum b_{ik}q_iq_k - 1) $
Quest'ultima derivata rispetto a $\lambda $ e posta uguale a $0 $ fornisce l'equazione del vincolo. Capisco che sia equivalente, ma mi pare un'inutile complicazione.
Un'altra spiegazione potrebbe essere che siccome non gli interessa riottenere l'equazione del vincolo e vuole derivare $\mathcal{L}(q_i, q_k, \lambda) $ solo rispetto a $q_i $ e $q_k $ della costante aggiuntiva $1/\lambda $ gli interessa poco...
"polloeffe":
della costante aggiuntiva $1/λ$ gli interessa poco..
Questo è indubbio
"polloeffe":
Errore nel testo? Fra l'altro perché $1/λ$?
Gli trona comodo perché alla fine, dopo aver fatto le variazioni, vuole ottenere un sistema del tipo
$\sum b_{ij}q_{i} = \sum \lambda a_{ij}q_i$ da cui poi, imponendo il determinante uguale a zero, ricava n radici per $\lambda$.
Comunque ora che ci penso quando fai le variazioni rispetto ai $q_i$ della costante additiva ti cambia poco... Ma allora mi sorge un dubbio: se io posso dimenticarmi di di quell' $1/ \lambda$ e trovare lo stesso i valori che mi interessavano di $\lambda$ che differenza c'è tra l'imporre una condizione $\sum b_{ik} q_i q_k = 1$ e $\sum b_{ik} q_i q_k = 0$?
Proseguendo nella lettura mi pare di capire che l'autore affermi che i valori di lambda così trovati sono univocamente definiti a meno del segno... What?! Da ciò ne deduco che l'unica differenza tra $\sum b_{ik} q_i q_k = 1$ e $\sum b_{ik} q_i q_k = 0$ è che il primo caso specifica un segno ? Sono un po' confuso.
Comunque, per contestualizzare, il problema è quello di calcolare gli assi principali di una superficie di "secondo ordine" in uno spazio 3N dimensionale.
"dRic":
che differenza c'è tra l'imporre una condizione $\sum b_{ik} q_i q_k = 1 $ e $ \sum b_{ik} q_i q_k = 0 $?
No attenzione, forse mi sono spiegato male: quei due vincoli sono ovviamente diversi, quello che intendevo dire e che poi mi ha fatto pensare la frase
"dRic":
We drop the auxiliary condition [...]
è che abbia trascurato la derivata rispetto a $1/\lambda$ (che eguagliata a $0$ restituisce l'equazione del vincolo) per concentrarsi su $ (del \mathcal{L})/(del q_i) $ e $ (del \mathcal{L})/(del q_k) $: ai fini del calcolo di queste due derivate il termine aggiuntivo $1/\lambda $ non dà contributo alcuno...
No ok quello si, però non capisco una cosa. Alla fine dell'ambaradan lui ottiene dei valori per $\lambda$. Ma se ha trascurato il fattore $\frac 1 {\lambda}$ come è possibile che siano "giusti" ?
"dRic":
come è possibile che siano "giusti" ?
Certo che sono "giusti", perché dovrebbero essere sbagliati?
Considera le due seguenti:
$ \mathcal{L}(q_i, q_k, \lambda) =\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} \sum b_{ik}q_iq_k $
$ \mathcal{L^{\star}}(q_i, q_k, \lambda) =\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} ( \sum b_{ik}q_iq_k -1) = \sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} \sum b_{ik}q_iq_k + \frac 1 {\lambda} $
Se ne calcoli le derivate rispetto a $q_i $ e $q_k $ e le imponi uguali a zero ottieni le stesse equazioni e quindi gli stessi valori.
Uh ho appena realizzato una cosa fighissima, ma non so se è un caso particolare di questo problema o se è una proprietà generale (penso proprio sia una caso particolare).
Per una condizione del tipo $\sum b_{ik}q_iq_k = c $ le "radici" di $\lambda$ che ottieni sono indipendenti dalla scelta di c! 1, 67, 0, 163782 danno lo stesso valore per i moltiplicatori di Lagrange. Poi ovviamente il valore della costante inciderà sui valori delle coordinate $q_i$ del minimo, ma non sui valori dei moltiplicatori in sè! Che interpretazione geometrica potrebbe avere questa cosa?
Per una condizione del tipo $\sum b_{ik}q_iq_k = c $ le "radici" di $\lambda$ che ottieni sono indipendenti dalla scelta di c! 1, 67, 0, 163782 danno lo stesso valore per i moltiplicatori di Lagrange. Poi ovviamente il valore della costante inciderà sui valori delle coordinate $q_i$ del minimo, ma non sui valori dei moltiplicatori in sè! Che interpretazione geometrica potrebbe avere questa cosa?
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