Domanda sui limiti notevoli.

[Antomus1]

Forse sarà una domanda stupida ma ho sempre avuto un dubbio ed è il seguente:perchè in gran parte dei limiti che si risolvono tramite limiti notevoli se si sostituisce una funzione $f(x)$ al posto della $x$ della formula originaria ....si ottiene lo stesso risultato?

Esempio:$limx->0 log(1+x)/x=limx->0 log(1+senx)/(senx)=1$ oppure $limx->0 [e^(arctg(x))-1]/arctgx=limx->0 [e^x-1]/x$ ?

Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda...Grazie in anticipo per le risposte.

[Seneca1]

Un cambio di variabile, no?

[Sorriso91]

Beh, direi che è semplicemente un fatto di sostituzione. Prendiamo ad esempio il primo limite che hai scritto. Se tu poni $t=sen(x)$ hai che quando $x->0$ anche $t->0$ quindi ti riconduci a studiare
$lim_(t->0) log(1+t)/t$. Spero di essermi spiegata abbastanza bene!

[Seneca1]

In effetti non è tutto così facile. Sotto questo cambio di variabile sta il teorema del limite di una funzione composta.

$f(x) = arctan(x)$ , $g(y) = (e^y - 1)/y$

$g(f(x)) = (e^(arctan(x)) - 1)/(arctan(x))$

$lim_(x -> 0) f(x) = 0$

$lim_(y -> 0) g(y) = 1$

Non puoi, senza pensare, concludere che $lim_(x -> 0) g(f(x)) = 1$.

Perché tutto "vada bene" deve una ipotesi in più. Nel tuo caso:

$AA x in RR - {0}$ , $arctg(x) in RR - {0}$ (verificata)

In genere, a meno che non sia una funzione costruita ad hoc per metterti in crisi, non serve darsi tante preoccupazioni...

[Antomus1]

Grazie per le risposte....