Domanda sui limiti
Mi è sorto un dubbio solo ora riguardo qualcosa di davvero semplice.
Mi piaerebbe dimostrarmi che
Le due affermazioni sono la stessa cosa:
$limx->x_0 f(x)=l <=> limx->x_0 f(x)-l=0$
Pensavo di usare il
$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Emi riduco a $|f(x) - l-0| < epsilon$ che è uguale al precedente. Ma sarebbe corretto?
Inoltre spesso si usa $lim_(x->x_0) |f(x)-l|=0$ con il modulo,ma perchémi sembra superfluo.
Mi piaerebbe dimostrarmi che
Le due affermazioni sono la stessa cosa:
$limx->x_0 f(x)=l <=> limx->x_0 f(x)-l=0$
Pensavo di usare il
$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Emi riduco a $|f(x) - l-0| < epsilon$ che è uguale al precedente. Ma sarebbe corretto?

Inoltre spesso si usa $lim_(x->x_0) |f(x)-l|=0$ con il modulo,ma perchémi sembra superfluo.
Risposte
"lozaio":
Mi è sorto un dubbio solo ora riguardo qualcosa di davvero semplice.
Mi piaerebbe dimostrarmi che
Le due affermazioni sono la stessa cosa:
$limx->x_0 f(x)=l <=> limx->x_0 f(x)-l=0$
Pensavo di usare il
$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Emi riduco a $|f(x) - l-0| < epsilon$ che è uguale al precedente. Ma sarebbe corretto?
Certo che lo è.
"lozaio":
Inoltre spesso si usa $lim_(x->x_0) |f(x)-l|=0$ con il modulo,ma perchémi sembra superfluo.
Beh, è molto semplice dimostrare che $lim_(x -> x_0) g(x) = 0 <=> lim_(x -> x_0) |g(x)| = 0$.
Prova…

Uhm, probabilmente sempre stupidamente proverei con:
Per provare: <=>
$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |g(x) - 0| < epsilon <=> |g(x) | < epsilon <=> ||g(x)| -0| < epsilon $.
Mi sembra tutto equivalente.
Se così fosse mi chiedo perché sia in uso usare l$imx→x0|f(x)−l|=0$ anziché la versione senza modulo.
Per provare: <=>
$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |g(x) - 0| < epsilon <=> |g(x) | < epsilon <=> ||g(x)| -0| < epsilon $.
Mi sembra tutto equivalente.
Se così fosse mi chiedo perché sia in uso usare l$imx→x0|f(x)−l|=0$ anziché la versione senza modulo.
"lozaio":
Uhm, probabilmente sempre stupidamente proverei con:
Per provare: <=>
$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |g(x) - 0| < epsilon <=> |g(x) | < epsilon <=> ||g(x)| -0| < epsilon $.
Mi sembra tutto equivalente.
Già.

"lozaio":
Se così fosse mi chiedo perché sia in uso usare $lim_(x -> x0) |f(x)−l|=0$ anziché la versione senza modulo.
Perché col modulo basta maggiorare con qualcosa di infinitesimo.

Grazie per avermi aiutato 
Posso chiederti un esempio, forse non ho afferrato appieno, scusami!

"gugo82":
Perché col modulo basta maggiorare con qualcosa di infinitesimo.
Posso chiederti un esempio, forse non ho afferrato appieno, scusami!
Tanto per capirci con un esempio scemo… Visto che $0 <= |x\sin (1/x)|<=|x|$, per T.d.Carabinieri hai $lim_(x -> 0) x sin(1/x) = 0$.
Se non avessi usato il modulo (che ti dà gratis la minorante $0$), avresti dovuto esibire sia una funzione minorante sia una maggiorante per applicare lo stesso teorema.
Se non avessi usato il modulo (che ti dà gratis la minorante $0$), avresti dovuto esibire sia una funzione minorante sia una maggiorante per applicare lo stesso teorema.
Certo ora mi è chiaro! Grazie ancora
