Domanda sui limiti

lozaio
Mi è sorto un dubbio solo ora riguardo qualcosa di davvero semplice.

Mi piaerebbe dimostrarmi che

Le due affermazioni sono la stessa cosa:

$limx->x_0 f(x)=l <=> limx->x_0 f(x)-l=0$

Pensavo di usare il

$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$.

Emi riduco a $|f(x) - l-0| < epsilon$ che è uguale al precedente. Ma sarebbe corretto? :roll:

Inoltre spesso si usa $lim_(x->x_0) |f(x)-l|=0$ con il modulo,ma perchémi sembra superfluo.

Risposte
gugo82
"lozaio":
Mi è sorto un dubbio solo ora riguardo qualcosa di davvero semplice.

Mi piaerebbe dimostrarmi che

Le due affermazioni sono la stessa cosa:

$limx->x_0 f(x)=l <=> limx->x_0 f(x)-l=0$

Pensavo di usare il

$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$.

Emi riduco a $|f(x) - l-0| < epsilon$ che è uguale al precedente. Ma sarebbe corretto? :roll:

Certo che lo è.

"lozaio":
Inoltre spesso si usa $lim_(x->x_0) |f(x)-l|=0$ con il modulo,ma perchémi sembra superfluo.

Beh, è molto semplice dimostrare che $lim_(x -> x_0) g(x) = 0 <=> lim_(x -> x_0) |g(x)| = 0$.
Prova… :wink:

lozaio
Uhm, probabilmente sempre stupidamente proverei con:

Per provare: <=>

$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |g(x) - 0| < epsilon <=> |g(x) | < epsilon <=> ||g(x)| -0| < epsilon $.

Mi sembra tutto equivalente.

Se così fosse mi chiedo perché sia in uso usare l$imx→x0|f(x)−l|=0$ anziché la versione senza modulo.

gugo82
"lozaio":
Uhm, probabilmente sempre stupidamente proverei con:

Per provare: <=>

$AA epsilon > 0, EE delta>0:\ AA x in Dom(f), 0 < |x - x_0| < delta => |g(x) - 0| < epsilon <=> |g(x) | < epsilon <=> ||g(x)| -0| < epsilon $.

Mi sembra tutto equivalente.

Già. :smt023

"lozaio":
Se così fosse mi chiedo perché sia in uso usare $lim_(x -> x0) |f(x)−l|=0$ anziché la versione senza modulo.

Perché col modulo basta maggiorare con qualcosa di infinitesimo. :wink:

lozaio
Grazie per avermi aiutato :)

"gugo82":
Perché col modulo basta maggiorare con qualcosa di infinitesimo. :wink:


Posso chiederti un esempio, forse non ho afferrato appieno, scusami!

gugo82
Tanto per capirci con un esempio scemo… Visto che $0 <= |x\sin (1/x)|<=|x|$, per T.d.Carabinieri hai $lim_(x -> 0) x sin(1/x) = 0$.
Se non avessi usato il modulo (che ti dà gratis la minorante $0$), avresti dovuto esibire sia una funzione minorante sia una maggiorante per applicare lo stesso teorema.

lozaio
Certo ora mi è chiaro! Grazie ancora :)

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