Domanda sui limiti.
Se un limite nell'intorno $x=0$, forma indeterminata $0/0$, e' risolvibile con gli sviluppi in serie di taylor allora e' risolvibile anche con Hopital, e viceversa, e' sbagliato secondo voi?
Risposte
In realtà non c'è alcun motivo per cui l'uno dovrebbe "includere" l'altro, semplicemente de l'Hopital si può usare per forme indeterminate $0/0$ o $oo/oo$ per x che tende a qualsiasi valore, finito o infinito. Taylor puoi usarlo in qualsiasi circostanza purchè x tenda ad un valore finito. Si tratta di una coincidenza.
Eppure se ci fai caso, negli sviluppi in serie di taylor bisogna calcolare le derivate successive ennesime , fino al termine utile, che consente l'eliminazione dell a forma indeterminata ed il calcolo del limite così come in Hopital, mi sbaglio?
Negli sviluppi di Taylor tu sviluppi unicamente i termini che ti interessano, applicando de l'Hopital devi derivare per interno sia il numeratore che il denominatore. Forse una cosa più interessante che puoi notare, è che molti sviluppi di Taylor ai primi ordini corrispondono a grand parte dei limiti notevoli
Supponiamo di avere due funzioni indefinitivamente derivabili, $f (x) $, e $g(x)$, e di voler calcolare il limite $lim_(x->0)f (x)/g (x) $, calcolando le derivate successive possiamo esprimere le nostre funzioni in serie polinomiali, secondo taylor per cui avremo:
$lim_(x->0)(f(0)+f^1(0)x+(f^2(0)/2)x^2+....+(f^n(0)/(n!))x^n+... )/(g (0)+g^1(0)x+(g^2(0)/2)x^2+....+(g^n(0)/(n!))x^n+...)$;
adesso supponiamo che risulti $f (0)=0$, ed $g (0 )=0$, sostituendo avremo la forma indeterminata $0/0$, andiamo allora a considerare i termini infinitesimi in $x^2$, se risulta ancora $f^2(0)=0$, ed $g^2(0)=0$, avremo ancora la forma indeterminata $0/0$, allora andremo a considerare i termini successivi , sicuramente ad un certo punto esistera' un $i $ $in$ $N $, tale che $f^i (0) $, ed $g^i (0) $ non si annullino , o almeno una delle due derivate i - esime non si annulli, per cui non avremo la forma indeterminata $0/0$, ed il valore del nostro limite sara' dato dal rapporto $(a_ix^i)/(b_ix^i )$ $=(f^i(0)/(i!)x^i)/(g^i(0)/(i!)x^i)=a_i/b_i=f^i (0)/g^i(0)$, in definitiva se
sviluppando in serie polinomiale secondo taylor , sia a numeratore che a denominatore si arriva al calcolo del $lim_(x->0)f (x)/g (x)= (a_i)/(b_i)=f^i(0)/g^i (0)$, nel caso $0/0$ usare taylor o Hopital diventa equivalente, in ogni caso bisogna calcolare le derivate successive, nell'uno si arriva al rapporto di coefficienti (taylor), che risulta uguale al rapporto delle derivate (Hopital);
Cioe' iterare Hopital, ripeto nel caso della forma indeterminata $0/0$, corrisponde in certo qual modo a sviluppare in serie di taylor.
Ti sembra corretto il mio ragionamento?
$lim_(x->0)(f(0)+f^1(0)x+(f^2(0)/2)x^2+....+(f^n(0)/(n!))x^n+... )/(g (0)+g^1(0)x+(g^2(0)/2)x^2+....+(g^n(0)/(n!))x^n+...)$;
adesso supponiamo che risulti $f (0)=0$, ed $g (0 )=0$, sostituendo avremo la forma indeterminata $0/0$, andiamo allora a considerare i termini infinitesimi in $x^2$, se risulta ancora $f^2(0)=0$, ed $g^2(0)=0$, avremo ancora la forma indeterminata $0/0$, allora andremo a considerare i termini successivi , sicuramente ad un certo punto esistera' un $i $ $in$ $N $, tale che $f^i (0) $, ed $g^i (0) $ non si annullino , o almeno una delle due derivate i - esime non si annulli, per cui non avremo la forma indeterminata $0/0$, ed il valore del nostro limite sara' dato dal rapporto $(a_ix^i)/(b_ix^i )$ $=(f^i(0)/(i!)x^i)/(g^i(0)/(i!)x^i)=a_i/b_i=f^i (0)/g^i(0)$, in definitiva se
sviluppando in serie polinomiale secondo taylor , sia a numeratore che a denominatore si arriva al calcolo del $lim_(x->0)f (x)/g (x)= (a_i)/(b_i)=f^i(0)/g^i (0)$, nel caso $0/0$ usare taylor o Hopital diventa equivalente, in ogni caso bisogna calcolare le derivate successive, nell'uno si arriva al rapporto di coefficienti (taylor), che risulta uguale al rapporto delle derivate (Hopital);
Cioe' iterare Hopital, ripeto nel caso della forma indeterminata $0/0$, corrisponde in certo qual modo a sviluppare in serie di taylor.
Ti sembra corretto il mio ragionamento?
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