Domanda sui coefficienti di un polinomio

[G.D.5]

Se il polinomio $P(x):=3x^3-sqrt2x+9/4$ è un polinomio a coefficienti reali e il polinomio $P(x):=(3+2i)x^2+(sqrt3-7i)x+4i$ è a coefficienti complessi, il polinomio $P(x):=3x^6-(2+i)x^3+2ix^2$ è a coefficienti reali o complessi?

Siccome $RR subset CC$, mica è sbagliato dire che anche $P(x):=x^3+x^2+4x-sqrt5$ è a coefficienti complesse?

[_Tipper]

Secondo me è a coefficienti complessi, ad esempio in $\mathbb{R}[x]$ l'espressione $2i x^2 - 2i x^2$ non ha senso, dato che $i \notin \mathbb{R}$.

[_Tipper]

La questione è simile, per certi versi, ad un post di Sandokan., in cui chiedeva se la funzione reale di variabile reale definita da $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ può contenere lo $0$ nel suo dominio.

[codino75]

"Tipper":La questione è simile, per certi versi, ad un post di Sandokan., in cui chiedeva se la funzione reale di variabile reale definita da $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ può contenere lo $0$ nel suo dominio.

mi pare che quella fosse piu' sottile come questione.

[_Tipper]

Ma nemmeno più di tanto, sarebbe come chiedersi se $x^2 + \frac{0}{\sqrt{-1}} x$ è un polinomio appartenente a $\mathbb{R}[x]$...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"WiZaRd":mica è sbagliato dire che anche $P(x):=x^3+x^2+4x-sqrt5$ è a coefficienti complesse?

Non è sbagliato: i coefficienti sono $1, 1, 4, -sqrt5$, e questi sono tutti numeri complessi.

Per come la vedo io, dato che un polinomio in una variabile a coefficienti in un campo C formalmente è una funzione che associa ad ogni numero naturale (grado della variabile) un elemento di C (coefficiente corrispondente al grado) [per completezza: tale che si annulli ovunque tranne in un numero finito di termini], considerando $RR$ come contenuto in $CC$ (cosa ammissibile, dato che c'è un'immersione naturale), risulta per esempio che il polinomio $0/i x^3-2x^2+(i-i)x-1$ è a coefficienti in $RR$ in quanto $0/i=i-i=0$ in $CC$, e $0 \in RR$. Cioè, $i-i$ e $0/i$ sono numeri reali, esattamente come $sqrt8/sqrt2$ è un numero razionale se consideriamo $QQ$ come contenuto in $RR$.

Se invece non si vuole considerare $RR$ come sottoinsieme di $CC$ allora in $RR$ il valore dell'espressione $0/i$ sarebbe indecidibile tanto quanto quello dell'espressione $0/(rosso)$

[_Tipper]

Preciso perché secondo me non hanno senso in $\mathbb{R}$ le operazioni $\frac{0}{i}$, $2i - 2i$ o qualcosa del genere... Se io considero la struttura algebrica $\langle \mathbb{R}, +, \cdot \rangle$, che è un campo, la somma e il prodotto sono due operazioni interne ad $\mathbb{R}$, perciò due funzioni definite da $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$. Ma è evidente che $(0, \frac{1}{i}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, $(2i, -2i) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, ...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Tipper":Preciso perché secondo me non hanno senso in $\mathbb{R}$ le operazioni $\frac{0}{i}$, $2i - 2i$ o qualcosa del genere... Se io considero la struttura algebrica $\langle \mathbb{R}, +, \cdot \rangle$, che è un campo, la somma e il prodotto sono due operazioni interne ad $\mathbb{R}$, perciò due funzioni definite da $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$. Ma è evidente che $(0, \frac{1}{i}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, $(2i, -2i) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, ...

Condivido in pieno questo ragionamento. Infatti tu parti dall'ipotesi che le operazioni vadano fatte in $RR$, e in questo caso per esempio l'espressione $0/i$ non ha significato. Io, considerando $RR$ come contenuto in $CC$, svolgevo l'operazione in $CC$ e solo dopo valutavo l'appartenenza o no del risultato ai numeri reali (intendendo con "numeri reali" la retta reale del piano complesso!).

Come dicevo nel post precedente, è ovvio che in $RR$ non posso fare operazioni come $i/i$ o $2i-2i$, ma questo è perché io in $RR$ il numero $i$ non so nemmeno cosa sia, non perché non posso fare la radice di numeri negativi; svolgere in $RR$ una operazione del tipo $i/i$ è come effettuare in $RR$ la somma $a+b+c+d+e+f$, che ovviamente non ha significato se non si dà un significato ai simboli.