Domanda sugli spazi metrici

[serafila]

Sia A sottoinsieme di R il seguente insieme:
\[
A=\left\{\frac{mn}{m^2+n^2+1}:\ m,n\in\mathbb{Z}\right\}.
\] _
Calcolare la chiusura $A$ in $RR$ rispetto alla distanza standard di $RR$.


Ho letto la dispensa sugli spazi metrici del mio professore e so cos' è la chiusura di un insieme ma non ho alba di come iniziare, non ho mai fatto esercizi di questo tipo. L'unica cosa che mi viene in mente è che potrei usare queste disuguaglianze:

$(mn)/(m^2+n^2+1)<=(mn)/(m^2+n^2)<=(mn)/(2mn)<=1/2$ quindi questa funzione può assumere solo valori tra -1/2 e 1/2. Basta, non so altro.

Domanda 2: perché in questo sito sono tutti così bravi e io non riesco a risolvere un semplice esercizio pur avendo letto le dispense del caso. Come farò mai a diventare un bravo Matematico?

[Rigel1]

Come hai già osservato \(A \subset (-1/2, 1/2)\).
Dimostriamo che \(\overline{A} = [-1/2, 1/2]\). Poiché \(A\) è simmetrico, basterà dimostrare che per ogni numero reale \(\alpha \in [0,1/2]\) esiste una successione \((\alpha_k)\subset A\) tale che \(\alpha_k \to \alpha\).
Posto \(\beta := (1-\sqrt{1-4\alpha^2})/2\), avremo che \(0\leq\beta\leq 1/2\) e
\[
\alpha = \frac{\beta}{\beta^2+1}\,.
\]
Sia ora \(r_k := p_k / q_k\) una successione di numeri razionali convergente al numero reale \(\beta\).
Per ogni \(k\in\mathbb{N}^+\), per \(m = k p_k\) ed \(n = k q_k\) avremo che
\[
\alpha_k := \frac{k^2 p_k q_k}{k^2 p_k^2 + k^2 q_k^2 + 1} \in A.
\]
Inoltre, per \(k\to +\infty\),
\[
\alpha_k = \frac{r_k}{r_k^2 + 1 + 1/(k q_k)^2} \to \frac{\beta}{\beta^2+1} = \alpha.
\]