Domanda sugli Integrali secondo Riemann

[Gp741]

Salve a tutti ho il seguente quesito da porre: La mia prof di analisi dice che è possibile dare un'interpretazione geometrica dell'integrale secondo Riemann (che consiste nell'area del trapezoide sotteso alla funzione) solo per le funzioni continue in un intevallo [a;b] e di segno positivo, mentre non è possibile farlo per le funzioni di cui sappiamo solo che sono limitate in un intervallo [a;b]; Sapreste ora darmi l'esempio di una funzione limitata in [a;b] di cui non è possibile dare l'interpretazione geometrica dell'integrale secondo Riemann?? Grazie in anticipo per le risposte.

[oronte83]

Ma una funzione mi pare si dica integrabile in $[a,b]$ secondo Riemann se è limitata e se vale l'uguaglianza $s u p S_(-) = i n f S_(+)$ con $S_(-)$ ed $S_(+)$ inisiemi di numeri reali, integrali di opportune funzioni a scala.
Se la funzione e' limitata non puoi sempre costruire i plurirettangoli?

Ho controllato sul mio libro di analisi e ci sono grafici di funzioni non continue (con salto), ma limitate, di cui costruisce i plurirettangoli...

[amel3]

La funzione di Dirichlet del tipo:
$f:[0,1]->RR$,
$f(x)=1$ se $x in QQ nn [0,1]$
$f(x)=0$ se $x in (RR \\ QQ) nn [0,1]$
è limitata su $[0,1]$, ma non continua. Non è una funzione integrabile secondo Riemann.

Non sono proprio un drago nelle interpretazioni geometriche, anzi... Comunque, raffigurarsi questo esempio è abbstanza evidente: la funzione "salta" continuamente da 0 a 1...