Domanda sugli estremi degli integrali nelle equazioni differenziali

[BoG3]

Ciao a tutti, vorrei condividere con voi e possibilmente stuccare il buco che ho in testa riguardo a questa cosa.

Data l'equazione diff: ${(y'(t)=sqrt(y(t))),(y(0)=0):}$ (problema di Cauchy)

E' un equaz. diff. a variabili separabili (o separate? differnza? che una ha le variabili gia' separate?)

Intanto separo la mia equazione: (posto che $sqrt(y(t))>0$)

$(y'(t))/sqrt(y(t))=1$

$(y'(t))/sqrt(y(t))=1 $ da cui, integrando i due membri ottengo: $int_0^t(y'(\tau))/sqrt(y(\tau))d\tau=int_0^t1d\tau $

Domanda 1: ma... $int_0^t(y'(\tau))/sqrt(y(\tau))d\tau$ mi sembra un qualcosa di simile alla funzione integrale definita come $F(x):=int_0^x f(t)dt$. Centra qualcosa? perchè il mio insieme di integrazione è proprio $0-t$? perchè non è ad esempio un integrale indefinito?

Alle altre domande mi sono appena risposto...
Grazie a tutti

[ELWOOD1]

Infatti in generale il tuo intervallo di integrazione dovrebbe essere $[t_0;t]$ è solamente poi con le condizioni iniziali che determini i valori "iniziali" appunto della variabile spaziale.

Sbagli però nell'integrazione, il primo membro è un'integrale in $dy$ solo il secondo è integrato nel tempo.

(PS: Credo che in generale si dica separabili, in quanto in questi problemi non è detto che le variabili siano già separate! comunque un matematico potrebbe risponderti sicuramente meglio)

[BoG3]

ciao, grazie della rispsota. in effettih o fatto un errore...allora tu dici:

$int_0^t(dy)/sqrt(y)=int_0^t1d\tau $

$2int_0^t(dy)/(2sqrt(y))=int_0^t1d\tau $

$2*[sqrt(y)]_0^t =\tau|_0^t +c$

$2*[sqrt(y(t)-sqrt(0))] =t +c$

$2sqrt(y(t)) =t +c$

$y(t)=(t+c)^2/4$

e dato che ho una condizione iniziale: $y(0)=0$ ho che: $(0+c)^2/4=0 => c=0$

giusto?