Domanda su uno sviluppo in serie di Taylor comune.
Lo sviluppo comune in questione è questo:
$(1+x)^\alpha=\sum_{i=1}^n ((\alpha),(i))*x^i+o(x^n)$
Non si riesce a generalizzarlo anche nei casi in cui $\alpha$ sia un numero razionale (per esempio $1/2$) anche negativo (per esempio $-1$)?
In altre parole non riesco bene a capire se c'è uno schema ripetuto nei coefficienti dei monomi nello sviluppo seguente, ad esempio:
$sqrt(1+x)=1+1/2 x -1/(2*4)*x^2+(1*3)/(2*4*6)*x^3-(1*3*5)/(2*4*6*8)*x^4+$...
Grazie a quanti potranno rispondermi.
$(1+x)^\alpha=\sum_{i=1}^n ((\alpha),(i))*x^i+o(x^n)$
Non si riesce a generalizzarlo anche nei casi in cui $\alpha$ sia un numero razionale (per esempio $1/2$) anche negativo (per esempio $-1$)?
In altre parole non riesco bene a capire se c'è uno schema ripetuto nei coefficienti dei monomi nello sviluppo seguente, ad esempio:
$sqrt(1+x)=1+1/2 x -1/(2*4)*x^2+(1*3)/(2*4*6)*x^3-(1*3*5)/(2*4*6*8)*x^4+$...
Grazie a quanti potranno rispondermi.
Risposte
Prova a trovare, dimostrandola per induzione, una formula chiusa per la derivata $k-$esima di quella funzione in $x=0$
Prova a trovare, dimostrandola per induzione, una formula chiusa per la derivata $k-$esima di quella funzione in $x=0$
Considera $f’(0)=alpha$ $f’’(0)=alpha(alpha-1)$ $f’’’(0)=alpha(alpha-1)(alpha-2)$ ... $f^(k)(0)=?$
Prova a trovare, dimostrandola per induzione, una formula chiusa per la derivata $k-$esima di quella funzione in $x=0$
Considera $f’(0)=alpha$ $f’’(0)=alpha(alpha-1)$ $f’’’(0)=alpha(alpha-1)(alpha-2)$ ... $f^(k)(0)=?$
Certo che ci si riesce!
Basta porre per definizione:
\[
\binom{\alpha}{k} := \begin{cases} \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!} &\text{, se } k \geq 1\\ 1 &\text{, se } k=0\end{cases}
\]
per ottenere addirittura:
\[
(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}\ x^k\;.
\]
Quella a secondo membro si chiama serie binomiale e converge, per ogni $alpha in RR$, almeno quando $|x| < 1$.
Praticamente, è stato lo sviluppo in serie da cui è nato il Calcolo Differenziale, dato che lo usava già Newton nei suoi lavori.
Basta porre per definizione:
\[
\binom{\alpha}{k} := \begin{cases} \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!} &\text{, se } k \geq 1\\ 1 &\text{, se } k=0\end{cases}
\]
per ottenere addirittura:
\[
(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}\ x^k\;.
\]
Quella a secondo membro si chiama serie binomiale e converge, per ogni $alpha in RR$, almeno quando $|x| < 1$.
Praticamente, è stato lo sviluppo in serie da cui è nato il Calcolo Differenziale, dato che lo usava già Newton nei suoi lavori.
Questa definizione più generale di coefficiente binomiale mi ha finalmente chiarito tutti i dubbi. Alle superiori e anche durante il corso all'università mi avevano dato ad inizio corso e di fretta solo questa:
$((a),(b))=(a!)/(b!*(a-b)!)$ però i conti non mi tornavano quando $a$ non era un numero naturale e maggiore di b.
Quindi in pratica fisso il "primo" fattore a numeratore $a$ e "l'ultimo" $a-b+1$ e poi moltiplico i due per tutti quelli che stanno in mezzo, togliendo $1$ di volta in volta.
La formula chiusa per la derivata k-esima di conseguenza, penso, sarà:
data $f(x)=(1+x)^(1/2)$ che era la funzione che avevo scritto come esempio
$f^{(k)}(x)=(1+x)^(1/2-k)*((1/2),(k))*(k!), k>=1$
Grazie mille a entrambi.
$((a),(b))=(a!)/(b!*(a-b)!)$ però i conti non mi tornavano quando $a$ non era un numero naturale e maggiore di b.
Quindi in pratica fisso il "primo" fattore a numeratore $a$ e "l'ultimo" $a-b+1$ e poi moltiplico i due per tutti quelli che stanno in mezzo, togliendo $1$ di volta in volta.
La formula chiusa per la derivata k-esima di conseguenza, penso, sarà:
data $f(x)=(1+x)^(1/2)$ che era la funzione che avevo scritto come esempio
$f^{(k)}(x)=(1+x)^(1/2-k)*((1/2),(k))*(k!), k>=1$
Grazie mille a entrambi.
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