Domanda su uno sviluppo in serie di Taylor
Sia $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione che ammette lo sviluppo
\[f(x)= 2+x^2+x^5 + o(x^5)\]
per $x \rightarrow 0$. Allora:
1) $f$ è derivabile almeno $5$ volte in $x=0$
2) $f$ è derivabile almeno $2$ volte in $x=0$
3) $f$ è derivabile almeno $1$ volta in $x=0$
4) $f$ è derivabile al massimo $5$ volte in $x=0$
Io avrei messo come vere le prime tre, ma risulta invece vera solo la 3), non riesco a capire il motivo, cosa mi sfugge?
Grazie
\[f(x)= 2+x^2+x^5 + o(x^5)\]
per $x \rightarrow 0$. Allora:
1) $f$ è derivabile almeno $5$ volte in $x=0$
2) $f$ è derivabile almeno $2$ volte in $x=0$
3) $f$ è derivabile almeno $1$ volta in $x=0$
4) $f$ è derivabile al massimo $5$ volte in $x=0$
Io avrei messo come vere le prime tre, ma risulta invece vera solo la 3), non riesco a capire il motivo, cosa mi sfugge?
Grazie
Risposte
Avrei risposto lo stesso. Ma adesso che mi ci fai pensare c'è una sottigliezza importante. Siamo d'accordo che \(f\) è derivabile una volta, perché il rapporto incrementale verifica
\[
\frac{f(h)-2}{h}=h+h^4+o(h^4),\]
e quindi il limite per \(h\to 0\) esiste (e vale zero, ma questo è irrilevante).
Ma questo implica solo che la derivata esiste in \(0\). Per derivare due volte, la derivata deve esistere in un intervallo contenente \(0\). Questo noi non lo sappiamo, non ce lo ha detto nessuno, noi abbiamo solo una informazione locale in \(0\), in tutti gli altri punti potrebbe succedere qualsiasi cosa.
\[
\frac{f(h)-2}{h}=h+h^4+o(h^4),\]
e quindi il limite per \(h\to 0\) esiste (e vale zero, ma questo è irrilevante).
Ma questo implica solo che la derivata esiste in \(0\). Per derivare due volte, la derivata deve esistere in un intervallo contenente \(0\). Questo noi non lo sappiamo, non ce lo ha detto nessuno, noi abbiamo solo una informazione locale in \(0\), in tutti gli altri punti potrebbe succedere qualsiasi cosa.
Per esempio, prendi una funzione \(G\) discontinua ovunque tranne che nell'origine, dove vale \(1\). Allora la funzione
\[
f(x)=(2+x+x^5)G(x)
\]
verifica l'ipotesi data, ma è continua solo per \(x=0\) e in nessun altro punto. In particolare, la derivata prima può esistere al massimo per \(x=0\), e difatti questo è vero, ma non può esistere in nessun altro punto. Non ha quindi senso chiedersi se esiste la derivata seconda.
\[
f(x)=(2+x+x^5)G(x)
\]
verifica l'ipotesi data, ma è continua solo per \(x=0\) e in nessun altro punto. In particolare, la derivata prima può esistere al massimo per \(x=0\), e difatti questo è vero, ma non può esistere in nessun altro punto. Non ha quindi senso chiedersi se esiste la derivata seconda.
Grazie mille!
Prego. Bello questo esercizio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo