Domanda su una funzione in due variabili
Salve a tutti, propongo questa funzione per chiedervi un paio di cose:
$ f(x,y) = e^(3x^2y+y^3+12x-15y) $
Di questa funzione dovrei capire quali sono i punti critici e attraverso il test delle derivate seconde verificare se si tratta di massimi,minimi o punti di sella.
Il professore che mi ha dato questo esercizio ha detto che posso anche calcolare le derivate dell'esponenziale e basta senza considerare la e, quindi avere una funzione di tipo polinomiale. Ciò mi semplifica la vita, ma io vorrei capire il motivo per cui posso fare in questo modo. E se ci sono altri casi in cui posso "togliere" la e e considerare solo l'esponente come una funzione g(x,y).
Vi ringrazio
$ f(x,y) = e^(3x^2y+y^3+12x-15y) $
Di questa funzione dovrei capire quali sono i punti critici e attraverso il test delle derivate seconde verificare se si tratta di massimi,minimi o punti di sella.
Il professore che mi ha dato questo esercizio ha detto che posso anche calcolare le derivate dell'esponenziale e basta senza considerare la e, quindi avere una funzione di tipo polinomiale. Ciò mi semplifica la vita, ma io vorrei capire il motivo per cui posso fare in questo modo. E se ci sono altri casi in cui posso "togliere" la e e considerare solo l'esponente come una funzione g(x,y).
Vi ringrazio
Risposte
Scrivi la funzione così $f(x,y)=e^{g(x,y)}$, con $g$ esponente. Puoi osservare che le derivate prime risultano
$$f_x=f\cdot g_x\qquad f_y=f\cdot g_y$$
Per trovare i punti stazionari devi allora imporre che le derivate di $g$si annullino (visto che $f$ è sempre positiva).
Ora, se calcoli le derivate seconde hai
$$f_{xx}=f(g_x^2+g_{xx}),\quad f_{xy}=f(g_x g_y+g_{xy}),\quad f_{yy}=f(g_y^2+g_{yy})$$
Dal momento che lo studio dell'hessiano si fa per i punti in cui si annullano le derivate prime, puoi osservare che devi tenere conto solo delle derivate seconde rispetto di $g$.
Pertanto lo studio dei max/min di $f$ equivale a quello dei max/min di $g$.
In generale, quando hai una funzione del tipo $f(x,y)=h(g(x,y))$, con $h(t)$ funzione monotona (come lo è l'esponenziale), puoi sempre ridurre lo studio a quello della funzione $g$.
$$f_x=f\cdot g_x\qquad f_y=f\cdot g_y$$
Per trovare i punti stazionari devi allora imporre che le derivate di $g$si annullino (visto che $f$ è sempre positiva).
Ora, se calcoli le derivate seconde hai
$$f_{xx}=f(g_x^2+g_{xx}),\quad f_{xy}=f(g_x g_y+g_{xy}),\quad f_{yy}=f(g_y^2+g_{yy})$$
Dal momento che lo studio dell'hessiano si fa per i punti in cui si annullano le derivate prime, puoi osservare che devi tenere conto solo delle derivate seconde rispetto di $g$.
Pertanto lo studio dei max/min di $f$ equivale a quello dei max/min di $g$.
In generale, quando hai una funzione del tipo $f(x,y)=h(g(x,y))$, con $h(t)$ funzione monotona (come lo è l'esponenziale), puoi sempre ridurre lo studio a quello della funzione $g$.
Grazie, sei stato molto chiaro.
Di conseguenza se vale per l'esponenziale vale anche per quella logaritmica?
Di conseguenza se vale per l'esponenziale vale anche per quella logaritmica?
Certo, a patto, in quel caso, di considerare la restrizione $g>0$.
Mi puoi fare un esempio di restrizione $ g > 0 $ ? Perché non mi è chiara questa cosa...
ps : se faccio le derivate della funzione che ho messo prima, ottengo valori differenti perché fare la derivata di :
$ e^(g(x,y)) $ è come fare : $ (e' ^((g(x,y))) * (e^(g'(x,y))) $
Seguendo la regola del prodotto delle funzioni...
ps : se faccio le derivate della funzione che ho messo prima, ottengo valori differenti perché fare la derivata di :
$ e^(g(x,y)) $ è come fare : $ (e' ^((g(x,y))) * (e^(g'(x,y))) $
Seguendo la regola del prodotto delle funzioni...
1) il dominio del logaritmo...
2) $f_x=e^{g}\cdot g_x=f\cdot g_x$
Dovresti focalizzare meglio alcune cosette, sai?
2) $f_x=e^{g}\cdot g_x=f\cdot g_x$
Dovresti focalizzare meglio alcune cosette, sai?
Scusa ahahah beh ho ancora alcune lacune, cercherò di recuperarle.
1) Ok considero il dominio di un logaritmo, quindi argomento strettamente maggiore di zero... Dopo aver considerato questa restrizione, considero le derivate dell'argomento del logaritmo, ma in che modo sono collegate con la considerazione " sul dominio" $ g > 0 $ ?
2) Mi è chiaro, ho capito
1) Ok considero il dominio di un logaritmo, quindi argomento strettamente maggiore di zero... Dopo aver considerato questa restrizione, considero le derivate dell'argomento del logaritmo, ma in che modo sono collegate con la considerazione " sul dominio" $ g > 0 $ ?
2) Mi è chiaro, ho capito
Nel caso del logaritmo hai che \(\displaystyle (\ln g)_x = \frac{g_x}{g}\) quindi non avviene esattamente la stessa cosa. Ovviamente devi considerare quella funzione nel dominio di \(\ln g\) (al di fuori non ha senso calcolare la derivata).
"vict85":
Nel caso del logaritmo hai che \(\displaystyle (\ln g)_x = \frac{g_x}{g}\) quindi non avviene esattamente la stessa cosa. Ovviamente devi considerare quella funzione nel dominio di \(\ln g\) (al di fuori non ha senso calcolare la derivata).
Si capisco, ma non riesco ad intendere perché quando ho delle funzioni strettamente crescenti posso fare in questa maniera...
Esiste una regola in merito a questa cosa?
Strettamente crescenti? È semplicemente la regola per la derivazione di funzioni composte.
"vict85":
Strettamente crescenti? È semplicemente la regola per la derivazione di funzioni composte.
Scusa mi sono spiegato male io.
Non intendevo la regola che hai postato tu, delle funzioni composte.
Prendi per esempio l'esercizio che ho messo all'inizio. Poiché avevo una funzione del tipo $ e^f(x,y) $ e poiché l'esponenziale era strettamente crescente, è possibile considerare solamente la $ f(x,y) $ per evitare lunghi passaggi nel fare la derivata con la e.
Ora quello che mi chiedo è perché esiste questa regola, cioè che regola è: "Se una funzione è crescente, puoi considerare la $ g(x,y) $ alla quale è "legata" "
Semplicemente la moltiplicazione per un numero positivo lascia invariata la positività.
"vict85":
Semplicemente la moltiplicazione per un numero positivo lascia invariata la positività.
Tutto qua?
Figo. Se ho invece questa funzione qua quindi : $ (x^2+y^2) e^-(x^2+y^2) $
A parte che ho una simmetria radiale, ma facendo finta di non considerarla, posso usare la stessa regola della stretta crescenza della funzione esponenziale? Quindi se devo derivarle mi basta derivare la prima e l'esponente e fare il prodotto delle derivate?
Vabbè non è solo questo, c'è anche un fatto concettuale dietro ma è molto semplice. Se una funzione $g$ è crescente, è chiaro che assumerà il minimo e il massimo in corrispondenza del minimo e del massimo del suo argomento. (Se $g$ è decrescente invece scambia i massimi con i minimi). Quindi, ancora prima di iniziare a fare derivate, uno può già toglierla di mezzo.
Però come al solito bisogna prima ragionare un minimo e non applicare regole a macchinetta.
Però come al solito bisogna prima ragionare un minimo e non applicare regole a macchinetta.
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