Domanda su un limite particolare
Mi dimostrate perché lim[x->0+] x*ln(x) = 0 ?
Riscrivendo la funzione così: ln(x)/(1/x) e applicando
il teorema di De L'Hopital, i conti tornano facilmente,
ma se volessi dimostrarlo senza questo teorema come potrei fare?
Riscrivendo la funzione così: ln(x)/(1/x) e applicando
il teorema di De L'Hopital, i conti tornano facilmente,
ma se volessi dimostrarlo senza questo teorema come potrei fare?
Risposte
Si potrebbe fare cosi:'
xlnx=-[ln(1/x)]/(1/x) .Se si pone t=1/x, si otterra':
xlnx=-ln(t)/t ed inoltre lim[x-->0+]t=+inf.
Ora dal confronto grafico si deduce che ,per t--+inf,
ln(t) e' un infinito di ordine sempre minore di quello
di t e dunque il limite richiesto e' 0.
M rendo conto che il procedimento non e' dei piu'
limpidi (tra l'altro fa ricorso ai grafici su cui
personalmente non ripongo molta fiducia).
Vediamo se vengono altri suggerimenti.
karl.
xlnx=-[ln(1/x)]/(1/x) .Se si pone t=1/x, si otterra':
xlnx=-ln(t)/t ed inoltre lim[x-->0+]t=+inf.
Ora dal confronto grafico si deduce che ,per t--+inf,
ln(t) e' un infinito di ordine sempre minore di quello
di t e dunque il limite richiesto e' 0.
M rendo conto che il procedimento non e' dei piu'
limpidi (tra l'altro fa ricorso ai grafici su cui
personalmente non ripongo molta fiducia).
Vediamo se vengono altri suggerimenti.
karl.
anch'io giungo alla stessa conclusione...mi riduco sempre al caso -ln(t)/t...in cui t è un infinito di ordine superiore rispetto a ln(t) e quindi il lim fa 0.
non capisco le tue perplessità Karl...se non considerassi tutta la teoria sull'ordine degli infiniti e infinitesimi i limiti diventerebbero assai più complicati!!!
non capisco le tue perplessità Karl...se non considerassi tutta la teoria sull'ordine degli infiniti e infinitesimi i limiti diventerebbero assai più complicati!!!
I miei dubbi vengono dal fatto che si
affermi che ,per t-->+inf,ln(t) e' di
ordine infinitamente minore di quello di t.
Ora questa conclusione io l'ho tirata fuori
dal confronto grafico che non e' proprio
il massimo dell'attendibilita' in matematica.
D'altra parte se facessi il confronto calcolando
il limite del rapporto ln(t)/t tornerei alla tesi.
Insomma un bel giro vizioso!.
Lieto di risentirti.
karl.
affermi che ,per t-->+inf,ln(t) e' di
ordine infinitamente minore di quello di t.
Ora questa conclusione io l'ho tirata fuori
dal confronto grafico che non e' proprio
il massimo dell'attendibilita' in matematica.
D'altra parte se facessi il confronto calcolando
il limite del rapporto ln(t)/t tornerei alla tesi.
Insomma un bel giro vizioso!.
Lieto di risentirti.
karl.
Dimenticavo di dirti, karl, che questa storia degli
infiniti per dimostrare che quel limite fa zero la sapevo già,
ma non l'ho mai capita bene: cercavo una dimostrazione più "matematica"
(non so trovare il termine giusto): neanche a me piacciono i confronti grafici.
Tra l'altro a scuola siamo passati dagli infinitesimi direttamente
alle derivate, saltando a piè pari gli infiniti.
infiniti per dimostrare che quel limite fa zero la sapevo già,
ma non l'ho mai capita bene: cercavo una dimostrazione più "matematica"
(non so trovare il termine giusto): neanche a me piacciono i confronti grafici.
Tra l'altro a scuola siamo passati dagli infinitesimi direttamente
alle derivate, saltando a piè pari gli infiniti.
beh non è che siamo poi molto differenti...infiniti e infinitesimi...però effettivamente di fatto si tratta di confrontare i loro grafici...ma non ci trovo nulla di male, visto che sono funzioni elementari..
poi vi posto il limite che ho dovuto risolvere all'esonero di analisi A..che andava risolto con la teoria degli infitesimi!!
poi vi posto il limite che ho dovuto risolvere all'esonero di analisi A..che andava risolto con la teoria degli infitesimi!!
Chissà, magari ci riesco pure io [:D]... Almeno lo spero. OK, postaci il limite quando vuoi!
2((e^t)-1)-2t^2+t(2(e^t)-1)
lim ------------------------------
t->0 (e^t)-1+sin^2(t)
e diciamo pure che è stata buona...negli esercizi ce n'erano di più brutte...moooooolto più brutte...
Ma è molto semplice!
Basta dividere numeratore e denominatore per t !!
Ora ti scrivo il mio procedimento con MathType e lo posto.
Basta dividere numeratore e denominatore per t !!
Ora ti scrivo il mio procedimento con MathType e lo posto.
eh eh...giusto...solo che io lo dovevo risolvere con la tecnica della sostutuzione degli infinitesimi...cmq complimenti!! sono sempre stato un po' arrugginito con i limiti...[:P]
sia chiaro che cmq l'ho azzeccato!! [:D]
Ah, era esplicitamente richiesto di calcolarlo con la teoria degli infinitesimi?
già...
cmq la tua soluzione, alla quale non ho neanche minimamente pensato, è molto più veloce...secondo me..cmq..
cmq la tua soluzione, alla quale non ho neanche minimamente pensato, è molto più veloce...secondo me..cmq..
Salve a tutti e buon proseguimento per il 2005.
Sono nuovo del forum e mi complimento con tutti voi per la competenza che dimostrate!
Approfitto di questo post per aggiungere il seguente problema e chiedere consigli: si tratta di calcolare
lim (x->0) (e^(2x) + x)^(1/x)
cercando di non cadere nel trabocchetto, come stupidamente ho fatto io, sostituendo 0 a x , ottenendo il risultato 1.
Dove ho sbagliato?
Grazie
Sono nuovo del forum e mi complimento con tutti voi per la competenza che dimostrate!
Approfitto di questo post per aggiungere il seguente problema e chiedere consigli: si tratta di calcolare
lim (x->0) (e^(2x) + x)^(1/x)
cercando di non cadere nel trabocchetto, come stupidamente ho fatto io, sostituendo 0 a x , ottenendo il risultato 1.
Dove ho sbagliato?
Grazie
Benvenuto gicif.
Mi spiace ma il testo del tuo limite non si capisce.
Mi spiace ma il testo del tuo limite non si capisce.
E' vero, chiedo scusa.
Ho editato il mio post precedente e l'ho sistemato un pò...
Ho editato il mio post precedente e l'ho sistemato un pò...
Bene, ora che hai modificato il post si capisce meglio.
Il limite si presenta nella forma indeterminata 1^inf
Detta f(x) la funzione di cui si deve calcolare il limite,
poiché in tale funzione la variabile compare sia alla
base che all'esponente, conviene riscriverla utilizzando la notazione:
f(x) = e^ln(f(x))
Abbiamo quindi:
Il limite si presenta nella forma indeterminata 1^inf
Detta f(x) la funzione di cui si deve calcolare il limite,
poiché in tale funzione la variabile compare sia alla
base che all'esponente, conviene riscriverla utilizzando la notazione:
f(x) = e^ln(f(x))
Abbiamo quindi:
Grazie inifinite, fireball. Molto chiaro.
Che cosa utilizzi per l'editing?
Che cosa utilizzi per l'editing?
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