Domanda su un limite

[bezout]

ho un grande dubbio quanto fa e come si risolve questo limite:
lim radice n-esima di(n!)
n->infinito
?
grazie

[devi19]

ciao io nn so risponderti xkè sn una capra in matematica...ti scrivo perchè sono curiosa di sapere che scuola fai..

[cavallipurosangue]

--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.

[infinito1]

Io non conosco la formula di Stirling, e, se possibile preferisco i metodi elementari, così provo con una semplice minorazione.


Intanto, per “semplicità”, considero n pari (poi non farò il caso di n dispari, ma la dimostrazione si può completare abbastanza facilmente.
n! è il prodotto dei primi n numeri naturali positivi, e tale prodotto si può scomporre in due fattori: il prodotto dei primi n/2 numeri naturali positivi e il prodotto dei successivi n/2 numeri naturali positivi; chiamo p tale prodotto. Allora i fattori di p possono essere minorati con il prodotto di n/2 numeri uguali a n/2, cioè p > (n/2)^(n/2).
Ne segue che (n!)^(1/n)>( (n/2)^(n/2) )^(1/n) =(n/2)^(1/2) che tende all’infinito, da cui la tesi.

[cavallipurosangue]

In ogni caso la formula di Stirling non è nulla di così astruso.. Anzi è spesso molto utile per operare con i fattoriali, infatti ti permette di stimarne in modo approssimativo anche la grandezza..

--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.

[Sk_Anonymous]

Volendo si puo' evitare la formul di Stirling.

Ciao.

[Piera4]

si può utilizzare anche il seguente teorema di cesaro:
lim radice n-sima di a(n)=lim a(n+1)/a(n)
nel nostro caso a(n)=n!
lim radice n-esima di(n!)=lim (n+1)!/n!=lim(n+1)=+infinito

[cavallipurosangue]

Giusto Piera si sarebbe stato il secondo metodo in ordine di preferenza, che avrei adottato, ma non amo moltissimo le successioni.... PERDONATO...??? [:p] [:D]

--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.

[Sk_Anonymous]

Ma non si era parlato solo di "metodi elementari"?
Ciao.

[bezout]

grazie per la risposta a tutti

[bezout]

per devil19 purtroppo dopo nn essere risciuto a risolvere quel limite mi vergogno un po' a dire che frequento l'università di matematica

[sastra81]

Vorrei darti un suggerimento sulla risoluzione di quel limite.
Ti ricordo solo che ....
limite per ''n'' che tende all'infinito(+infinito) della radice ennesima di n è uguale
al limite di n che tende all'infinito di n^1/n che è un limite notevole che è pari ad uno
Questo limite notevole sta sul marcellini sbordone (libro di esercizi parte prima)

[cavallipurosangue]

Questo perchè n^(1/n)=n^(1/n)=e^((n^-1)(ln(n))) Adesso possiamo allora dire che siccome il logaritmo tende a -00 molto meno velocemente che qualsiasi potenza, allora il, limite fa e^0=1