Domanda su Trasformata Fourier, Topologia e Decadimento
Salve, vorrei porvi una domanda inerente le trasformate di Fourier:
Data una funzione, per vedere se è trasformabile guardo se appartiene a L1 giusto?
Per vedere se appartiene a L1 o faccio l'integrale e vedo che non tenda ad infinito o guardo se è continua e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2) o di 1/(e^2) no?
Devo fare la stessa cosa anche per la derivata della funzione per dire se è trasformabile?
Cosa devo guardare per dire a priori quali sono le caratteristiche della trasformata di fourier di una funzione, per quanto riguarda regolarità, se appartiene a L1 e/o L2, e come decade?
Io so che se la funzione appartiene a L1 la sua trasformata è C0, se appartiene a L2 la trasformata è a sua volta L2.
Per vedere se una funzione è o faccio l'integrale del quadrato della funzione e vedo che non tenda ad infinito o guardo se è continua (sempre il quadrato della funzione) e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2) o di 1/(e^2)?
Vi ringrazio dell'attenzione.
Ciao!
Data una funzione, per vedere se è trasformabile guardo se appartiene a L1 giusto?
Per vedere se appartiene a L1 o faccio l'integrale e vedo che non tenda ad infinito o guardo se è continua e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2) o di 1/(e^2) no?
Devo fare la stessa cosa anche per la derivata della funzione per dire se è trasformabile?
Cosa devo guardare per dire a priori quali sono le caratteristiche della trasformata di fourier di una funzione, per quanto riguarda regolarità, se appartiene a L1 e/o L2, e come decade?
Io so che se la funzione appartiene a L1 la sua trasformata è C0, se appartiene a L2 la trasformata è a sua volta L2.
Per vedere se una funzione è o faccio l'integrale del quadrato della funzione e vedo che non tenda ad infinito o guardo se è continua (sempre il quadrato della funzione) e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2) o di 1/(e^2)?
Vi ringrazio dell'attenzione.
Ciao!
Risposte
"SeanCourtney":
guardo se è continua e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2)
Questa condizione è troppo restrittiva.
Per la sommabilità occorre che all'infinito risulti
$|f(t)| <= K/t^alpha$ con $K>0$ e $alpha > 1$
Dunque non deve essere per forza $alpha = 2$... va bene anche $alpha = 1.54$ oppure $alpha = 1.00000000000000003$
"SeanCourtney":
Devo fare la stessa cosa anche per la derivata della funzione per dire se è trasformabile?
Non necessariamente, anche se la sommabilità della derivata è utile perché in tal caso valgono alcune formule importantissime, come la nota formula per ricavare la trasformata della derivata a partire dalla trasformata della funzione di partenza.
Grazie della risposta!
Aspetto qualche persona gentile che fughi i restanti dubbi.
Aspetto qualche persona gentile che fughi i restanti dubbi.
Qualcuno ha consigli?
Ho dimenticato di scrivere lo spazio:
Per vedere se una funzione è L2 o faccio l'integrale del quadrato della funzione e vedo che non tenda ad infinito o guardo se è continua (sempre il quadrato della funzione) e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2) o di 1/(e^2)?
Per vedere se una funzione è L2 o faccio l'integrale del quadrato della funzione e vedo che non tenda ad infinito o guardo se è continua (sempre il quadrato della funzione) e all'infinito decada più velocemente di 1/(x^2) o di 1/(e^2)?
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