Domanda su successione: teorema del limite del reciproco

[salarico]

Ciao, stavo leggendo questa https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra ... uccessione

e ho un dubbio legato ad un passaggio, praticamente dove prende "se $0<ε<|l|/2$ [...]", ma imponendo questa condizione non dovrebbe più funzionare la definizione di limite di una successione che recida "Per ogni epsilon..." dimostro che vale solo per epsiolon sotto |l|/2.
Non riesco bene a capire questo passaggio, spero in qualche delucidazione

[dissonance]

Non ti preoccupare: in tutti gli argomenti epsilon-delta, se qualcosa funziona "per ogni epsilon più piccolo di un certo valore fissato", allora funzionerà per tutti gli epsilon. Devi ragionarci un po' su, ma è un concetto fondamentale dell'analisi.

[salarico]

Caspita sai che non riesco proprio a vederlo, perché capisco moltiplicare epsiolon per una costante, essendo nei reali, si "riscala tutto"ma è arbitrario esempio ε'=ε*2 mi torna la definizione di limite,
ma nel caso in cui prenda ε>|l|/2 non vedo proprio come faccia a funzionare, al massimo poso concludere che funziona per tutti gli ε minori di quel valore fissato, ma per i maggiori non mi pare

[dissonance]

Se \(\epsilon\) è grande, considera un valore più piccolo, per esempio \(\epsilon^\star=|l|/4\). In corrispondenza di \(\epsilon^\star\) esiste un \(\delta(\epsilon^\star)\) tale che per ogni \(x\in (x_0-\delta(\epsilon^\star), x_0+\delta(\epsilon^\star))\) si ha \(|f(x)-l|< \epsilon^\star<\epsilon\). Quindi, a maggior ragione, \(|f(x)-l|<\epsilon\). Conclusione: basta prendere \(\delta(\epsilon)=\delta(\epsilon^\star)\) e tutto funziona.

[salarico]

Forse ero fuorviato dai soliti disegni esplicativi e mi immaginavo sempre un delta in corrispondenza di quel dato epsilon. Ma in effetti la definizione non vieta ti trovare un altro punto m sulle ordinate a cui far corrispondere un $δ(m)$ tale per cui x che cade nell'intorno bucato B(x',δ(m)) ne consegua che |f(x)-l|<ϵ