Domanda su studio di funzione
$ f(x)=ln^2(|x|)+ln(x^2)-x-1 $ questa è la funzione:
domande:
1) Dominio di funzione (premettendo che io ho studiato $f(x)$ definendone il dominio come $D(f)=R$ ): come posso definirlo? Cioè il primo logaritmo che ha valore assoluto mi suggerisce che il campo di esistenza è $R$ mentre il secondo mi confonde un pò... Infatti il logaritmo si può scrivere anche come $2log(x)=log(x^2)$ ma in questo caso il C.E cambierebbe.
2)studio dei punti di intersezione; quello che vorrei sapere è: quando si hanno funzioni le cui radici non possono essere trovate attraverso passaggi algebrici allora è lecito, se non addirittura necessario, sorvolare tale passo?
3) studio dei punti stazionari: mi sono ricondotto allo studio di una funzione ausiliaria: $g(x)=e^((x-1)/2)/|x|$ dato che $f'(x)=0 =>2ln|x|-x+2=0 => |x|=e^((x-1)/2)=> e^((x-2)/2)/x=+-1$. Allora ho studiato tale funzione trovandone gli asintoti e facendo la derivata per capire se i suoi massimi o minimi si trovavano al di sotto della retta y=1 e al di sopra di y=-1. Ricordando che effettivamente $g(x)-1=f'(x)$ ne ho dedotto che i punti in cui le due rette intersecavano il grafico erano punti stazionari per $f(x)$. Alla fine mi è venuto fuori che: se |g(x)|<1 allora f(x) è crescente, viceversa nei punti in cui $|g(x)|>1$. Ora poichè gli asintoti ( ed il fatto che il punto di minimo si trova al di sotto della retta y=1) mi hanno suggerito che $lim_(x->0(+_-)) g(x)=(+_-)oo$ e $lim_(x->+oo)g(x)=+oo$ e $lim_(x->-oo)g(x)=0$ allora per $x>0$ il grafico interseca la retta due volte ( uno è un punto di minimo e uno di massimo per $f(x)$ e per $x<0$ $g(x)$ interseca la retta una volta. Poi in base al valore a cui tendeva f(x) prima e dopo tali punti ne ho tratto l' informazione per dire se erano p. di massimo o di minimo.
Potreste dirmi se è giusto ciò che ho fatto? Grazie mille per l' attenzione.
domande:
1) Dominio di funzione (premettendo che io ho studiato $f(x)$ definendone il dominio come $D(f)=R$ ): come posso definirlo? Cioè il primo logaritmo che ha valore assoluto mi suggerisce che il campo di esistenza è $R$ mentre il secondo mi confonde un pò... Infatti il logaritmo si può scrivere anche come $2log(x)=log(x^2)$ ma in questo caso il C.E cambierebbe.
2)studio dei punti di intersezione; quello che vorrei sapere è: quando si hanno funzioni le cui radici non possono essere trovate attraverso passaggi algebrici allora è lecito, se non addirittura necessario, sorvolare tale passo?
3) studio dei punti stazionari: mi sono ricondotto allo studio di una funzione ausiliaria: $g(x)=e^((x-1)/2)/|x|$ dato che $f'(x)=0 =>2ln|x|-x+2=0 => |x|=e^((x-1)/2)=> e^((x-2)/2)/x=+-1$. Allora ho studiato tale funzione trovandone gli asintoti e facendo la derivata per capire se i suoi massimi o minimi si trovavano al di sotto della retta y=1 e al di sopra di y=-1. Ricordando che effettivamente $g(x)-1=f'(x)$ ne ho dedotto che i punti in cui le due rette intersecavano il grafico erano punti stazionari per $f(x)$. Alla fine mi è venuto fuori che: se |g(x)|<1 allora f(x) è crescente, viceversa nei punti in cui $|g(x)|>1$. Ora poichè gli asintoti ( ed il fatto che il punto di minimo si trova al di sotto della retta y=1) mi hanno suggerito che $lim_(x->0(+_-)) g(x)=(+_-)oo$ e $lim_(x->+oo)g(x)=+oo$ e $lim_(x->-oo)g(x)=0$ allora per $x>0$ il grafico interseca la retta due volte ( uno è un punto di minimo e uno di massimo per $f(x)$ e per $x<0$ $g(x)$ interseca la retta una volta. Poi in base al valore a cui tendeva f(x) prima e dopo tali punti ne ho tratto l' informazione per dire se erano p. di massimo o di minimo.
Potreste dirmi se è giusto ciò che ho fatto? Grazie mille per l' attenzione.
Risposte
Ciao Sciarra.
Sicuro? Guarda bene
Assolutamente no, il C.E. è identico nelle due forme proprio perché queste indicano la stessa cosa - sono uguali!
"Sciarra":
$ f(x)=ln^2(|x|)+ln(x^2)-x-1 $ questa è la funzione:
domande:
1) Dominio di funzione [...] il primo logaritmo che ha valore assoluto mi suggerisce che il campo di esistenza è $R$
Sicuro? Guarda bene
"Sciarra":
il logaritmo si può scrivere anche come $2log(x)=log(x^2)$ ma in questo caso il C.E cambierebbe.
Assolutamente no, il C.E. è identico nelle due forme proprio perché queste indicano la stessa cosa - sono uguali!
attenzione,$lnx^2$ è equivalente a $2lnx$ solo se si fa l'ipotesi aggiuntiva $x>0$
a priori,la prima funzione è definita per $x ne 0$ ,la seconda per $x>0$
a priori,la prima funzione è definita per $x ne 0$ ,la seconda per $x>0$
Perché il dominio è $RR$? Non mi pare che esista il logaritmo di zero ...
E poi ... attento a questo: $2log(x)=log(x^2)$ ... a parte la querelle sulla base solo positiva o meno io direi che è così $2log(|x|)=log(x^2)$ ...
Per il punto 2 puoi sempre provare a cercarli dopo aver "schizzato" la funzione ...
Cordialmente, Alex
E poi ... attento a questo: $2log(x)=log(x^2)$ ... a parte la querelle sulla base solo positiva o meno io direi che è così $2log(|x|)=log(x^2)$ ...
Per il punto 2 puoi sempre provare a cercarli dopo aver "schizzato" la funzione ...
Cordialmente, Alex
Ok ragazzi ho capito... Quindi devo stare attento ad interpretare bene la funzione se si presenta come $f(x)=4ln(x)$! Devo tenere ben presente, prima di iniziare uno studio, che quella costante cambia molto il dominio di appartenenza!
e comunque sò che il logaritmo non è definito in 0: è stato un "lapsus"-
Alex per "schizzato" intendi appunto che, dopo aver concluso lo studio cerco di capire dove , approssimativamente, f(x)=0?
Comunque il punto 3, se lo ha letto qualcuno, faceva capire che sò che il log(0) non esiste. Nel caso non lo avesse letto nessuno vi invito a farlo e a rispondermi, perchè è la cosa che mi interessa più sapere. Vi ringrazio tutti per l' aiuto, siete stati tutti genitlissimi.
e comunque sò che il logaritmo non è definito in 0: è stato un "lapsus"-
"axpgn":
Per il punto 2 puoi sempre provare a cercarli dopo aver "schizzato" la funzione ...
Cordialmente, Alex
Alex per "schizzato" intendi appunto che, dopo aver concluso lo studio cerco di capire dove , approssimativamente, f(x)=0?
Comunque il punto 3, se lo ha letto qualcuno, faceva capire che sò che il log(0) non esiste. Nel caso non lo avesse letto nessuno vi invito a farlo e a rispondermi, perchè è la cosa che mi interessa più sapere. Vi ringrazio tutti per l' aiuto, siete stati tutti genitlissimi.
No, non devi interpretare un bel niente.
Devi solo porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Punto.
L'argomento del primo è $|x|>0$ e il secondo è $x^2>0$: ambedue portano alla conclusione che il dominio è tutto $RR$ meno lo zero; che tu lo avessi in mente non lo metto in dubbio ma nel post ci sei andato giù piatto e sicuro (tant'è vero che t'abbiamo risposto in tre
).
Ho usato la parola "schizzato" invece che "disegnato" perché a quel punto non avendo ancora finito lo studio magari non sei ancora in grado di disegnare la funzione per bene ...
Il punto 3 l'ho letto ma non ho approfondito. Perdono 
Cordialmente, Alex
Devi solo porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Punto.
L'argomento del primo è $|x|>0$ e il secondo è $x^2>0$: ambedue portano alla conclusione che il dominio è tutto $RR$ meno lo zero; che tu lo avessi in mente non lo metto in dubbio ma nel post ci sei andato giù piatto e sicuro (tant'è vero che t'abbiamo risposto in tre
).Ho usato la parola "schizzato" invece che "disegnato" perché a quel punto non avendo ancora finito lo studio magari non sei ancora in grado di disegnare la funzione per bene ...
Il punto 3 l'ho letto ma non ho approfondito
. Perdono Cordialmente, Alex
Ok... Grazie alex...
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