Domanda su rette
Ciao, vorrei chiedere una cosa piuttostodi base, risolvendo un esercizio di analisi mi è venuto un dubbio riguardo due rette che si incorciano nell origine, esse sono rappresentabili sia come
$y=+-|x|$ che come $y=+-x$
Graficamente mi torna, ma come posso mostrare analiticamente che sono in effetti la medesima espressione?
$y=+-|x|$ che come $y=+-x$
Graficamente mi torna, ma come posso mostrare analiticamente che sono in effetti la medesima espressione?
Risposte
Qual è la definizione di modulo?
Comunque, il simbolo $\pm$ potrebbe essere ambiguo. Sempre meglio scrivere $y=x$ oppure $y=-x$.
Comunque, il simbolo $\pm$ potrebbe essere ambiguo. Sempre meglio scrivere $y=x$ oppure $y=-x$.
In sostanza avrei i casi:
per +: $y=x if x>=0$ con il caso $y=-x if x<0$
per -: $y=-x if x>=0$ con $y=x if x<0$
Che messi assieme mi ridanno il caso della retta.
però devo dire che formalmente non so come fare, non so se hai voglia di darmi una mano:
L'idea è che devo mostrare che I e II sono equivalenti:
I) $y=|x| ∨ y=-|x|$
<=>
$[(y=x if x>=0) ∧ (y=-x if x<0)] ∨ [(y=-x if x>=0) ∧ (y=x if x<0)]$
(ma mi areno qui perché non riesco a maneggiarli in modo da giungere a II
II) $y=x ∨ y=-x$
per +: $y=x if x>=0$ con il caso $y=-x if x<0$
per -: $y=-x if x>=0$ con $y=x if x<0$
Che messi assieme mi ridanno il caso della retta.
però devo dire che formalmente non so come fare, non so se hai voglia di darmi una mano:
L'idea è che devo mostrare che I e II sono equivalenti:
I) $y=|x| ∨ y=-|x|$
<=>
$[(y=x if x>=0) ∧ (y=-x if x<0)] ∨ [(y=-x if x>=0) ∧ (y=x if x<0)]$
(ma mi areno qui perché non riesco a maneggiarli in modo da giungere a II
II) $y=x ∨ y=-x$
"matos":
$[(y=x if x>=0) ∧ (y=-x if x<0)] ∨ [(y=-x if x>=0) ∧ (y=x if x<0)]$
(ma mi areno qui perché non riesco a maneggiarli in modo da giungere a II
Ma che c'è da maneggiare? Hai letteralmente scritto che $y$ è uguale a $x$ o a $-x$.
Uhm ma per aver scritto quanto dici non dovrebbe essere:
$[(y=x if x≥0)∧(y=x if x<0)]∨[(y=−x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]$?
$[(y=x if x≥0)∧(y=x if x<0)]∨[(y=−x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]$?
No perchè in alcuni casi $y$ coincide con $x$, in altri con $-x$. Nel modo in cui dici tu sarebbe sempre una delle due.
Lascia perdere sono un idiota 
Ti/vi ringrazio
Ti/vi ringrazio
Chiedo scusa ma a me non è chiero e ero incuriosito.
[(y=x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]
a me sembra dire che: se x=5 ad esempio y=5, se y=-5 y=5, ma questa non è y=x
Dunque
[(y=x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]∨[(y=−x if x≥0)∧(y=x if x<0)]
non mi torna che dovrebbe essere y=x or y=-x come dice otta.
[(y=x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]
a me sembra dire che: se x=5 ad esempio y=5, se y=-5 y=5, ma questa non è y=x
Dunque
[(y=x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]∨[(y=−x if x≥0)∧(y=x if x<0)]
non mi torna che dovrebbe essere y=x or y=-x come dice otta.
"matos":
Ciao, vorrei chiedere una cosa piuttostodi base, risolvendo un esercizio di analisi mi è venuto un dubbio riguardo due rette che si incorciano nell origine, esse sono rappresentabili sia come
$y=+-|x|$ che come $y=+-x$
Graficamente mi torna, ma come posso mostrare analiticamente che sono in effetti la medesima espressione?
Come è già stato fatto notare, l'espressione $+-$ è ambigua.
Facendoti assumere i panni dello studente, la userei solo se c'è un significato ben chiaramente definito nel mini universo di interesse (prof&assit&esaminatori&stud del corso). Universo che si dissolverà presto, al passaggio dell'esame, e che poscia ti porrà a rischio di ambiguità (vedi sotto). Quindi, usala pure nel mini universo, ma ricordati di fare molta attenzione quando ne sei al di fuori (meglio: non usarla per niente).
Parlando in generale, io rifuggirei dall'uso di queste espressioni proprio per il carico di ambiguità che si portano dietro. Per esempio, io leggo la prima scrittura come se tu volessi dire che hai di fronte due funzioni, ovvero $|x|$ e $-|x|$, il che è ovviamente una cantonata madornale, visto che ti vorresti riferire a due rette!
[ot]Secondo me \(\pm\) è una notazione utile se compare nei due membri di una equazione. Ad esempio, le due equazioni
\[
a_+= x+y\\
a_-=x-y\]
si possono condensare in
\[
a_\pm =x\pm y, \]
e qui non c'è ambiguità, si risparmia una linea e tutto è più chiaro e ordinato.
Invece
\[
a=x\pm y\]
(come nell'OP) è ambiguo e va evitato.[/ot]
\[
a_+= x+y\\
a_-=x-y\]
si possono condensare in
\[
a_\pm =x\pm y, \]
e qui non c'è ambiguità, si risparmia una linea e tutto è più chiaro e ordinato.
Invece
\[
a=x\pm y\]
(come nell'OP) è ambiguo e va evitato.[/ot]
"dissonance":
[ot]Secondo me \(\pm\) è una notazione utile se compare nei due membri di una equazione. Ad esempio, le due equazioni
\[
a_+= x+y\\
a_-=x-y\]
si possono condensare in
\[
a_\pm =x\pm y, \]
e qui non c'è ambiguità, si risparmia una linea e tutto è più chiaro e ordinato.
Invece
\[
a=x\pm y\]
(come nell'OP) è ambiguo e va evitato.[/ot]
Non vorrei essere frainteso, non ce l'ho con la notazione $\pm$.
Per me è solo una notazione un po' a rischio, sul fronte ambiguità.
Cosa che mi pare non avvenga nel tuo esempio.
D'altronde c'è anche la famosa formula per le soluzioni delle equazioni di secondo grado...
Anche se ho paura che questa formuletta abbia qualche responsabilità nella opinione diffusa che la radice quadrata di 4 sia $\pm 2$
D'altronde c'è anche la famosa formula per le soluzioni delle equazioni di secondo grado...
Esatto, quella formula. Anche qui, se uno scrive
\[
x_{\pm}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \]
dove \(\pm\) appare nei due membri dell'equazione, non ci sono problemi. Mentre
\[
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
è sbagliato.
P.S.: stiamo andando OT alla grande ma dopo tutti questi anni qui direi che ce lo possiamo permettere
Ciao a tutti! Mi intrometto per due motivi.
- se siete interessati, c'è una discussione attiva sull'argomento in un'altra stanza del forum. Mi farebbe piacere conoscere la vostra opinione in merito.
- per dissonance, sulla questione del più o meno, abbiamo visioni discordanti. Mi spiego nel peggiore dei modi possibile.
Se risolvo l'equazione di secondo grado
$x^2-1=0$
io scriverei comunque $x=\pm 1$ per indicare $x=-1\vee x=1$. Di fatto, è l'incognita $x$ ad assumere due valori che, volendo, possiamo indicare con $x_+=1$ e $x_{-} =-1$. Spero di aver reso l'idea.
- se siete interessati, c'è una discussione attiva sull'argomento in un'altra stanza del forum. Mi farebbe piacere conoscere la vostra opinione in merito.
- per dissonance, sulla questione del più o meno, abbiamo visioni discordanti. Mi spiego nel peggiore dei modi possibile.
Se risolvo l'equazione di secondo grado
$x^2-1=0$
io scriverei comunque $x=\pm 1$ per indicare $x=-1\vee x=1$. Di fatto, è l'incognita $x$ ad assumere due valori che, volendo, possiamo indicare con $x_+=1$ e $x_{-} =-1$. Spero di aver reso l'idea.
"Mathita":
...
- se siete interessati, c'è una discussione attiva sull'argomento in un'altra stanza del forum. Mi farebbe piacere conoscere la vostra opinione in merito.
...
Capperi! Giuro che non l'avevo vista! Ma è normale, i vecchi saggi sono anche preveggenti
Sulle mie opinioni, direi che è stata già fatta sufficiente chiarezza, non vedo cosa potrei aggiungere là
PS: ho mentito
A me invece continua a non essere chiato qualcosa di OT, ossia:
Qualcuno mi aiuterebbe?
L'idea è che devo mostrare che I e II sono equivalenti:
I) $y=|x| ∨ y=-|x|$
<=>
$[(y=x if x>=0) ∧ (y=-x if x<0)] ∨ [(y=-x if x>=0) ∧ (y=x if x<0)]$
(ma mi areno qui perché non riesco a maneggiarli in modo da giungere a II
II) $y=x ∨ y=-x$
"ionosfero":
Chiedo scusa ma a me non è chiero e ero incuriosito.
$[(y=x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]$
a me sembra dire che: se x=5 ad esempio y=5, se y=-5 y=5, ma questa non è y=x
Dunque
$[(y=x if x≥0)∧(y=−x if x<0)]∨[(y=−x if x≥0)∧(y=x if x<0)]$
non mi torna che dovrebbe essere y=x or y=-x come dice otta.
Qualcuno mi aiuterebbe?
"ionosfero":
A me invece continua a non essere chiato qualcosa di OT, ossia:
L'idea è che devo mostrare che I e II sono equivalenti:
I) $y=|x| ∨ y=-|x|$
...
II) $y=x ∨ y=-x$
...
Prendi un foglio.
Su questo foglio disegna il grafico di $y=|x|$ e di $y=-|x|$. Diciamo con inchiostro o matita di colore blu
Sempre su questo foglio disegna il grafico di $y=x$ e $y=-x$. Con inchiostro o matita di colore rosso o quel che vuoi, purché sia diverso dal blu.
Noti qualcosa?
Ora, sempre sullo stesso foglio, calca il grafico di $y=|x|$ e $y=x$, usando gli stessi colori che avevi usato (blu per il primo e rosso per il secondo).
Noti qualcosa?
Diciamo che a me graficamente sembra tornare, tuttavia non riesco a capire perché otta abbia scritto:
Ma che c'è da maneggiare? Hai letteralmente scritto che $y$ è uguale a $x$ o a $-x$.[/quote]
A me quello non sembra affatto uguale (seguento la logica mateamtica) al II).
Questo per chiarire dove mi impappino.
Però provo a rispondere alle tue domande dato che gentilmente me le hai poste:
alla prima rispondo che i due grafici si sovrappongono
alla seconda ti risponderei che della V che troviamo nel primo e secondo quadrante solo quella del primo si sovrappone a y=x retta, il secondo quadrante no e il terzo ha la restante parte della retta y=x
"otta96":
[quote="matos"]$[(y=x if x>=0) ∧ (y=-x if x<0)] ∨ [(y=-x if x>=0) ∧ (y=x if x<0)]$
(ma mi areno qui perché non riesco a maneggiarli in modo da giungere a II
Ma che c'è da maneggiare? Hai letteralmente scritto che $y$ è uguale a $x$ o a $-x$.[/quote]
A me quello non sembra affatto uguale (seguento la logica mateamtica) al II).
Questo per chiarire dove mi impappino.
Però provo a rispondere alle tue domande dato che gentilmente me le hai poste:
alla prima rispondo che i due grafici si sovrappongono
alla seconda ti risponderei che della V che troviamo nel primo e secondo quadrante solo quella del primo si sovrappone a y=x retta, il secondo quadrante no e il terzo ha la restante parte della retta y=x
"ionosfero":
...
Però provo a rispondere alle tue domande dato che gentilmente me le hai poste
...
E io provo a "spiegare" cosa volevo dire con le mie domande.
Ma prima mi scuso per rispondere solo adesso. Ho visto la tua risposta solo due o tre giorni fa e poi ero troppo impegnato per poter rispondere.
Le relazioni $y=\pm |x|$ e $y=\pm x$ individuano lo stesso sottoinsieme di $\RR^2$.
Chiamiamo $\rho$ la relazione su $\RR$ (cioè, il sottoinsieme di $\RR^2$) descritta dalla prima formuletta e $\sigma$ quella individuata dalla seconda.
Visto che $y=\pm |x|$ $\iff$ $( y=|x|$ vel $y=-|x|)$, indichiamo con $\rho_1$ la relazione descritta da $y=|x|$ e con $\rho_2$ quella descritta da $y=-|x|$.
Abbiamo così che $\rho = \rho_1 \cup \rho_2$.
Analogamente, $(x,y) \in \sigma$ $\iff$ $( y=x$ vel $y=-x)$. Se introduciamo $\sigma_1$ e $\sigma_2$ analogamente a come fatto sopra per $\rho$, si avrà $\sigma = \sigma_1 \cup \sigma_2$.
Vediamo di mostrare che $\rho = \sigma$.
Facciamolo per separazione di casi.
Per $x \ge 0$, semplicemente $(x,y) \in \rho_1$ $\iff$ $(x,y) \in \sigma_1 $ e $(x,y) \in \rho_2$ $\iff$ $(x,y) \in \sigma_2 $
E quindi ci siamo.
Per $x \le 0$, semplicemente $(x,y) \in \rho_1$ $\iff$ $(x,y) \in \sigma_2 $ e $(x,y) \in \rho_2$ $\iff$ $(x,y) \in \sigma_1 $
Anche questo funziona.
L'unica cosa da notare è che nel secondo caso gli indici di $\rho$ e di $\sigma$ si invertono. E' questo che volevo mettere in evidenza con i disegnini colorati.
Tutto qui.
s.e.o.
Grazie mille, direi che ora mi è formalemnte chiaro quello che volevi tramandarmi e ti ringrazio per esserti preso la briga di spiegarmelo per filo e per segno.
Tuttavia ormai mi sono ostinato a voler rispondere in tutti i modi possibile a questa semplice domanda e mi ostino altresì a voler scriverlo con il linguaggio logico.
Quello che diceva matos mi pare vero, dovrei dimostrare questo. Però tuttora non capisco come operare sugli operatori logici per arrivare a I==II
Tuttavia ormai mi sono ostinato a voler rispondere in tutti i modi possibile a questa semplice domanda e mi ostino altresì a voler scriverlo con il linguaggio logico.
"matos":
In sostanza avrei i casi:
per +: $y=x if x>=0$ con il caso $y=-x if x<0$
per -: $y=-x if x>=0$ con $y=x if x<0$
Che messi assieme mi ridanno il caso della retta.
però devo dire che formalmente non so come fare, non so se hai voglia di darmi una mano:
L'idea è che devo mostrare che I e II sono equivalenti:
I) $y=|x| ∨ y=-|x|$
<=>
$[(y=x if x>=0) ∧ (y=-x if x<0)] ∨ [(y=-x if x>=0) ∧ (y=x if x<0)]$
(ma mi areno qui perché non riesco a maneggiarli in modo da giungere a II
II) $y=x ∨ y=-x$
Quello che diceva matos mi pare vero, dovrei dimostrare questo. Però tuttora non capisco come operare sugli operatori logici per arrivare a I==II
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