Domanda su punti di minimo (massimo) relativo
Sugli appunti del mio professore c'è scritto che i punti di estremo locale (cioè punti di minimo o massimo relativo) sono punti stazionari, quindi in quei punti la derivata è nulla.
Il mio dubbio è sorto quando ho letto il teorema di Fermat per il quale data una funzione $ f(x) $ definita in $ I $ e dato un punto $ x_0in I $ con $ x_0 $ punto di estremo locale, si ha che: se $ x_0 $ è interno ad $ I $ allora la derivata in quel punto è nulla; se invece $ x_0 $ è un estremo di $ I $ allora la derivata in quel punto è positiva o negativa (a seconda che si tratti dell'estremo sinistro o destro e di un punto di massimo o minimo relativo)
Alla luce di questo teorema, la mia domanda è: ma i punti di estremo locale sono o no punti stazionari?
Il mio dubbio è sorto quando ho letto il teorema di Fermat per il quale data una funzione $ f(x) $ definita in $ I $ e dato un punto $ x_0in I $ con $ x_0 $ punto di estremo locale, si ha che: se $ x_0 $ è interno ad $ I $ allora la derivata in quel punto è nulla; se invece $ x_0 $ è un estremo di $ I $ allora la derivata in quel punto è positiva o negativa (a seconda che si tratti dell'estremo sinistro o destro e di un punto di massimo o minimo relativo)
Alla luce di questo teorema, la mia domanda è: ma i punti di estremo locale sono o no punti stazionari?
Risposte
Pensa alla funzione $f(x) = x$ definita in $[0,1]$, ha un minimo locale in 0, ma la derivata (destra) in 0 vale 1, quindi in generale i punti di estremo locale non hanno derivata nulla.
Se, invece, il punto di estremo è interno al dominio allora la derivata è nulla.
Se, invece, il punto di estremo è interno al dominio allora la derivata è nulla.
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