Domanda su misura di Peano-Jordan

[Werner1]

Salve a tutti, il mio quesito è il seguente:
Quando definisco gli integrali multipli, ad esempio su \(\mathbb{R}^2 \), ho che posso misurare un insieme \(A\subset\mathbb{R}\) andando ad integrare la funzione
\[I_A=\begin{cases} 1 \hspace{1cm} \vec{x}\in A \\ 0 \hspace{1cm} \vec{x} \notin A \end{cases}\]
Su tutto \(A\)
\[\int_A I_A d^2x=m(A) \]

Qui nasce il mio dubbio, ovvero se \(A\) non è una semplice unione di plurirettangoli, ma un sottoinsieme qualunque ho che la misura è presa come limite del diametro dei plurirettangoli nei quali posso scomporre \(A\) che tende a 0, mentre il numero dei plurirettangoli tende ad infinito. Formalemente la misura esiste se esiste il limite
\[\lim_{\delta\rightarrow 0} \sum_{i=0}^n C_i=m(A)\]

Dove \( C_i\) è l'\(i\)-esimo plurirettangolo di diametro \(\delta\), vale inoltre \(C_i \cap C_j=\emptyset\).

Fin qui tutto bene, però ora mi viene un dubbio, infatti io ho che il numero dei plurirettangoli tende a infinito, perciò ho una cosa del tipo
\[m(A)=m(\bigcup_{i=1}^n C_i)=\sum_{i=0}^n m(C_i)\]

Questo vale finché \(n\) è finito, poiché suppongo i plurirettangoli disgiunti, ma passando al limite non rischio non valga più? O il limite è da intendersi numero "molto grande", cioé un numero enorme ma finito, tale per cui ogni successiva divisione di \(A\) in plurirettangoli più piccoli non mi darebbe altro che dei \(C_i\) di misura nulla?

[Werner1]

Vorrei riportare l'attenzione, magari non una risposta, ma almeno un posto dove poterla trovare mi sarebbe veramente utile.
Grazie ancora!