Domanda su invertibilità e funzione inversa

[SunShine91]

Buongiorno a tutti,
mi sono iscritta da poco nel forum e volevo presentarvi due miei dubbi.

EDIT:
Ho risolto il primo dubbio! Quindi ho messo la domanda nascosta, se qualcuno volesse comunque controllare se la mia risposta è giusta mi fareste un favore!

Primo:
Stavo leggendo questo vecchio post viewtopic.php?f=36&t=67816 ed in particolare mi sono soffermata sulla risposta di gugo nella quale specificava che un estremo di integrazione era $x^2$ e quindi era necessario fare il dominio della composta.

Bene, per risolvere questo integrale ho fatto la stessa cosa:
$\int_{1/x}^{+infty} t/(e^t *(t+1)) dt$
Dove appunto un estremo di integrazione è $1/x$
Il dominio della mia funzione integrale risulta $(-infty, -1) U (0, +infty)$
Ma io sapevo che il dominio delle funzioni integrali doveva essere un solo intervallo, qui ve ne sono due.. Quindi cosa posso dire? Va bene lo stesso?
EDIT:
Se studio la convergenza dell'integrale vedo che in $x->-1$ il mio integrale non converge mentre in $x->0$ il mio integrale converge quindi il dominio ora risulterà $[0, +infty)$

Secondo:
Data la funzione:
$f(x)=sqrt(2x^2 - sin^3(x)) $
Dopo aver determinato il dominio verificare se è invertibile in $[3/4, +infty)$, scrivere l'inversa e calcolare il polinomio di linearizzazione in $yo= pi*sqrt(2)$

Il dominio è $R$
Per il calcolo dell'invertibilità trovo la derivata prima e vedo se la funzione in quell'intervallo è monotona. La derivata è $f'(x)= (2x)/sqrt(2x^2 - sin^3(x)) - 3/2 * (cosxsin^2x)/(sqrt(2x^2 - sin^3(x))$

La prima parte della derivata è maggiore di zero se $x>0$ mentre la seconda è minore di zero perchè c'è il segno negativo davanti ma posso dire che il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore lo è per $0pi$.
Quindi posso dire che la mia derivata sarà maggiore di zero quando $pi/2 Giusto?

Quindi non dovrebbe andare bene l'intervallo richiesto... o si?

E poi se andasse bene non riesco a trovare l'inversa perchè pongo:
$f(x)=y$ e mi viene $sin^3(x)=2x^2 - y^2$
come lo risolvo?
e per il polinomio di linearizzazione devo semplicemente sostituire yo ad y dell'inversa? Cioè fare g(yo)?

Grazie mille!

[SunShine91]

Qualcuno mi può aiutare? Ho scritto male qualcosa?
Volevo solo avere un parere sui miei ragionamenti e capire come poter risolvere l'inversa perchè usando arcsin non so andare avanti!

[SunShine91]

Ehm.. Scusate ho fatto un po di casini volevo solo cancellare la domanda ma non me lo lascia fare. Qualcuno può farlo per me?