Domanda su integrali di funzioni di più variabili
Carissimi tutti,
dopo una lunga assenza, rieccomi a voi con un dubbio che mi assilla..
La questione è più ampia e rientra nel contesto di un lavoro che sto preparando in ambito di distribuzioni multivariate (statistica matematica), ma il problema specifico ben dovrebbe prestarsi a tutti i matematici che vorranno aiutarmi!
Vado ad esporre.
Sia $\varphi(\mathbf{s}):\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^+$ una funzione di $\mathbb{s}=(s_1,...,s_k,...,s_n)'\in\mathbb{R}^n$ e $\mathbf{d}=(d_1,...,d_k,...,d_n)'\in\mathbb{R}^n$ un vettore di costanti note.
Si consideri il dominio $ \tilde{S} =\{\mathbf{\tilde{s}}\in\mathbb{R}^n\|\sum_{k=1}^n \tilde{s}_k=n \wedge 0\leq \tilde{s}_k\leqd_k, \forall k=1,...,n}$, con $n \in \mathbb{Z}^+, n>2$. Sia inoltre noto che $\sum_{k=1}^n d_k \geq n$.
Sono interessato a determinare la quantità $int_\tilde{S} \varphi(\mathbf{\tilde{s}})d\mathbf{\tilde{s}}$ in modo che sia il più generale possibile (ovvero in modo che la procedura sia valida al variare della dimensione $n$ considerata, e quindi al modificarsi del dominio $\mathbf{\tilde{S}}$).
Mie iniziali osservazioni (e qui correggetemi, ve ne prego!):
1. Il vincolo $\sum_{k=1}^n \tilde{s}_k=n$ individua una varietà lineare (una retta se $n=2$, un piano se $n=3$, un iperpiano se $n>3$) immersa in $\mathbb{R}^n$, chiamiamola $V_1$.
2. Il vincolo $0\leq \tilde{s}_k\leqd_k, \forall k=1,...,n$ individua un parallelepipedo in $\mathbb{R}^n$, chiamiamolo $V_2$ e tale per cui $V_2 \supseteq V_1$ (anche in virtù del fatto che $\sum_{k=1}^n d_k \geq n$). Vincola inoltre $\tilde{S}$ a trovarsi interamente nelle porzioni di spazio definite dalle parti non-negative degli assi di riferimento.
3. Se $n=2$, $\tilde{S}$ assume la forma di un segmento della retta $s_1+s_2=2$ nel primo quadrante del piano $s_1\times s_2$.
4. Se $n=3$, $\tilde{S}$ assume la forma di una porzione del piano $s_1+s_2+s_3=3$ nel primo ottante dello spazio $s_1 \times s_2 \times s_3$.
Domanda: l'integrale che mi interessa, ovvero $int_\tilde{S} \varphi(\mathbf{\tilde{s}})d\mathbf{\tilde{s}}$ è un integrale di superficie (di linea se $n=2$) o ho le idee confuse a riguardo?
Ho provato a descrivere $\tilde{S}$ impiegando curve e superfici parametrizzate, e di lì ogni testo di analisi mi spiega come calcolare questo integrale fino ad $n=3$.. dovendo generalizzare ad un $n>3$, cosa suggerireste?
Grazie per la pazienza se siete arrivati fin qua intanto!!
dopo una lunga assenza, rieccomi a voi con un dubbio che mi assilla..
La questione è più ampia e rientra nel contesto di un lavoro che sto preparando in ambito di distribuzioni multivariate (statistica matematica), ma il problema specifico ben dovrebbe prestarsi a tutti i matematici che vorranno aiutarmi!
Vado ad esporre.
Sia $\varphi(\mathbf{s}):\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^+$ una funzione di $\mathbb{s}=(s_1,...,s_k,...,s_n)'\in\mathbb{R}^n$ e $\mathbf{d}=(d_1,...,d_k,...,d_n)'\in\mathbb{R}^n$ un vettore di costanti note.
Si consideri il dominio $ \tilde{S} =\{\mathbf{\tilde{s}}\in\mathbb{R}^n\|\sum_{k=1}^n \tilde{s}_k=n \wedge 0\leq \tilde{s}_k\leqd_k, \forall k=1,...,n}$, con $n \in \mathbb{Z}^+, n>2$. Sia inoltre noto che $\sum_{k=1}^n d_k \geq n$.
Sono interessato a determinare la quantità $int_\tilde{S} \varphi(\mathbf{\tilde{s}})d\mathbf{\tilde{s}}$ in modo che sia il più generale possibile (ovvero in modo che la procedura sia valida al variare della dimensione $n$ considerata, e quindi al modificarsi del dominio $\mathbf{\tilde{S}}$).
Mie iniziali osservazioni (e qui correggetemi, ve ne prego!):
1. Il vincolo $\sum_{k=1}^n \tilde{s}_k=n$ individua una varietà lineare (una retta se $n=2$, un piano se $n=3$, un iperpiano se $n>3$) immersa in $\mathbb{R}^n$, chiamiamola $V_1$.
2. Il vincolo $0\leq \tilde{s}_k\leqd_k, \forall k=1,...,n$ individua un parallelepipedo in $\mathbb{R}^n$, chiamiamolo $V_2$ e tale per cui $V_2 \supseteq V_1$ (anche in virtù del fatto che $\sum_{k=1}^n d_k \geq n$). Vincola inoltre $\tilde{S}$ a trovarsi interamente nelle porzioni di spazio definite dalle parti non-negative degli assi di riferimento.
3. Se $n=2$, $\tilde{S}$ assume la forma di un segmento della retta $s_1+s_2=2$ nel primo quadrante del piano $s_1\times s_2$.
4. Se $n=3$, $\tilde{S}$ assume la forma di una porzione del piano $s_1+s_2+s_3=3$ nel primo ottante dello spazio $s_1 \times s_2 \times s_3$.
Domanda: l'integrale che mi interessa, ovvero $int_\tilde{S} \varphi(\mathbf{\tilde{s}})d\mathbf{\tilde{s}}$ è un integrale di superficie (di linea se $n=2$) o ho le idee confuse a riguardo?
Ho provato a descrivere $\tilde{S}$ impiegando curve e superfici parametrizzate, e di lì ogni testo di analisi mi spiega come calcolare questo integrale fino ad $n=3$.. dovendo generalizzare ad un $n>3$, cosa suggerireste?
Grazie per la pazienza se siete arrivati fin qua intanto!!
Risposte
In realtà la notazione è ambigua.
Di solito il simbolo \(\int_S \phi (s)\ \text{d} s\) si usa per denotare integrali estesi ad insiemi "pieni", cioè aventi misura \(n\)-dimensionale positiva (e.g., parallelepipedi, sfere, simplessi, o altra roba simile); e quando si usa quel simbolo per insiemi di misura \(n\)-dimensionale nulla si conviene che l'integrale sia nullo.
Il tuo caso ricade nella seconda eventualità, perché, come tu stesso noti, l'insieme cui è esteso l'integrale è un insieme di misura nulla (infatti coincide col grafico di una funzione continua).
Quindi il problema è proprio capire come tu intenda usare il simbolo \(\int_S \phi (s)\ \text{d} s\), perché così com'è esso non può avere il significato usuale (a meno di non voler avere zero come risultato per ogni funzione \(\phi\), evidentemente).
Di solito il simbolo \(\int_S \phi (s)\ \text{d} s\) si usa per denotare integrali estesi ad insiemi "pieni", cioè aventi misura \(n\)-dimensionale positiva (e.g., parallelepipedi, sfere, simplessi, o altra roba simile); e quando si usa quel simbolo per insiemi di misura \(n\)-dimensionale nulla si conviene che l'integrale sia nullo.
Il tuo caso ricade nella seconda eventualità, perché, come tu stesso noti, l'insieme cui è esteso l'integrale è un insieme di misura nulla (infatti coincide col grafico di una funzione continua).
Quindi il problema è proprio capire come tu intenda usare il simbolo \(\int_S \phi (s)\ \text{d} s\), perché così com'è esso non può avere il significato usuale (a meno di non voler avere zero come risultato per ogni funzione \(\phi\), evidentemente).
Grazie, caro gugo, della tua risposta!
Sono notazioni di cui non sono in effetti pratico, e dunque mi scuso!
Quel che mi interessa è, alla fine, valutare l'area sottesa ad una curva $\varphi$ in $\mathbb{R}^n$ considerando il dominio $\tilde{S}$ come dominio di integrazione. E' più chiaro così? Che notazione dovrei usare?
Sono notazioni di cui non sono in effetti pratico, e dunque mi scuso!
Quel che mi interessa è, alla fine, valutare l'area sottesa ad una curva $\varphi$ in $\mathbb{R}^n$ considerando il dominio $\tilde{S}$ come dominio di integrazione. E' più chiaro così? Che notazione dovrei usare?
Allora vuoi fare un integrale su una varietà di \(\mathbb{R}^n\) di dimensione \(n-1\) (qui \(n\geq 2\), se non capisco male).
Il modo più corretto di scrivere un integrale del genere è adoperare la misura di Hausdorff \(n-1\)-dimensionale su \(S\), i.e. scrivere:
\[
\int_S \phi\ \text{d} \mathcal{H}^{n-1}
\]
ove \(\mathcal{H}^{n-1}\) è appunto la suddetta misura.
Infatti si prova che se \(S\) è una curva regolare di \(\mathbb{R}^2\) oppure una superficie regolare di \(\mathbb{R}^3\), allora \(\int_S \phi\ \text{d} \mathcal{H}^{n-1}\) restituisce il classico integrale di linea o di superficie che si studia in Analisi II.
Il modo più corretto di scrivere un integrale del genere è adoperare la misura di Hausdorff \(n-1\)-dimensionale su \(S\), i.e. scrivere:
\[
\int_S \phi\ \text{d} \mathcal{H}^{n-1}
\]
ove \(\mathcal{H}^{n-1}\) è appunto la suddetta misura.
Infatti si prova che se \(S\) è una curva regolare di \(\mathbb{R}^2\) oppure una superficie regolare di \(\mathbb{R}^3\), allora \(\int_S \phi\ \text{d} \mathcal{H}^{n-1}\) restituisce il classico integrale di linea o di superficie che si studia in Analisi II.
Regolarità che, considerando l'insieme $\tilde{S}$ che ho definito sopra, è sempre verificata? O il fatto che siano iperpiani vincolati dagli elementi di $\mathbf{d}$ (e quindi, perdonami il termine, 'ritagliati') mi crea problemi?
A occhio direi di sì.
Infatti hai \(s_n=n-(s_1+s_2+\cdots +s_{n-1})\) fintantoché \((s_1,\ldots ,s_{n-1})\in [0,d_1]\times \cdots [0,d_{n-1}]\), quindi la tua varietà \(S\) non è altro che un pezzo di iperpiano (i.e., il grafico di una funzione affine), che è una varietà regolarissima.
Infatti hai \(s_n=n-(s_1+s_2+\cdots +s_{n-1})\) fintantoché \((s_1,\ldots ,s_{n-1})\in [0,d_1]\times \cdots [0,d_{n-1}]\), quindi la tua varietà \(S\) non è altro che un pezzo di iperpiano (i.e., il grafico di una funzione affine), che è una varietà regolarissima.
Ti ringrazio moltissimo gugo, prezioso come sempre.
Dunque il modo per procedere, a questo punto, è di parametrizzare i cammini su quelle superfici ed integrare la funzione sotto la misura opportuna (quella di Hausdorff)?
Grazie grazie grazie ^^
Dunque il modo per procedere, a questo punto, è di parametrizzare i cammini su quelle superfici ed integrare la funzione sotto la misura opportuna (quella di Hausdorff)?
Grazie grazie grazie ^^
Ah, beh, fare esplicitamente il conto è un altro paio di maniche.
Innanzitutto, non è una cosa semplicissima da fare, perché in \(\mathbb{R}^n\) non hai un prodotto vettoriale come in \(\mathbb{R}^3\). Devi vedere un po' sul Fusco-Marcellini-Sbordone vecchio di Analisi II; mi pare che c'è un ultimo capitolo dedicato all'integrazione sulle varietà.
Innanzitutto, non è una cosa semplicissima da fare, perché in \(\mathbb{R}^n\) non hai un prodotto vettoriale come in \(\mathbb{R}^3\). Devi vedere un po' sul Fusco-Marcellini-Sbordone vecchio di Analisi II; mi pare che c'è un ultimo capitolo dedicato all'integrazione sulle varietà.
Eccellente. Recupererò i dovuti riferimenti bibliografici.. voglio vedere se riesco a tirar fuori qualcosa in forma chiusa.. sarebbe una buona cosa per quel che mi serve.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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