Domanda su integrale primo e derivazione

[Fab527]

Scusate la banalità della domanda e la confusione; il mio libro di meccanica razionale nella definizione di integrale primo dice che una $ G(x,t) $ è un integrale primo per il sistema $ dot(x) = f(x,t) $ se per ogni soluzione $ x(t) $ del sistema la funzione $ g(t) = G(x(t),t) $ è indipendente da $ t $, cioè se risulta $ d/dtg(t)-= (partial G(x(t),t))/(partial t)+dot(x)*nablaG(x(t),t)=0 $ .



Come arriva a questa espressione? L'unica cosa che mi viene in mente che procede in modo simile è la derivazione di funzione composta, dove date due funzioni ad esempio $ f(x,y,z) $ e $ g(s,t) $ (e ammettendo che le ipotesi per comporle in $ f @ g $ siano soddisfatte) si ha $ (partial (f@g))/(partial t)=nablaf(g(s,t))*(partial g(s,t))/(partial t) $.



Nel caso di $ G(x(t),t) $ come derivo?

[Scotti1]

Ciao Fab

è esattamente come dici, derivazione di funzione composta. Perchè $g(t)$ sia indipendente da $t$, la sua derivata deve essere nulla. Quindi calcolo diffferenziale di $G(x(t),t)$ cioè

$dg(t)-= (partial G(x(t),t))/(partial t)dt+(partial G(x(t),t))/(partial x)dx$

da cui:

$d/dtg(t)-= (partial G(x(t),t))/(partial t)+(partial G(x(t),t))/(partial x)dot(x)$

Ma se $x$ lo vedi come un vettore puoi scrivere:

$(partial G(x(t),t))/(partial x)dot(x)=dot(x)*nablaG(x(t),t)$

Quindi

$ d/dtg(t)-= (partial G(x(t),t))/(partial t)+dot(x)*nablaG(x(t),t)=0 $

Questo è quanto
SSSSC

Bye

[Fab527]

Grazie della risposta Scotti. Il tuo procedimento mi è chiaro tranne quest'ultima parte

"Scotti":
Ma se $x$ lo vedi come un vettore puoi scrivere:

$(partial G(x(t),t))/(partial x)dot(x)=dot(x)*nablaG(x(t),t)$

come si deriva rispetto a un vettore?

[dissonance]

"Fab527":Come arriva a questa espressione? L'unica cosa che mi viene in mente che procede in modo simile è la derivazione di funzione composta, dove date due funzioni ad esempio $ f(x,y,z) $ e $ g(s,t) $ (e ammettendo che le ipotesi per comporle in $ f @ g $ siano soddisfatte) si ha $ (partial (f@g))/(partial t)=nablaf(g(s,t))*(partial g(s,t))/(partial t) $.

Propongo una soluzione alternativa, più standardizzata. In meccanica il simbolo \(\frac{d}{dt}\) indica la derivata totale (credo la si chiami anche derivata materiale o derivata lagrangiana). Significa che la quantità da derivare va valutata lungo il flusso materiale. Se la quantità è \(u=u(\mathbf{x}, t)\) allora la derivata totale è data da
\[
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}\big( u(\mathbf{x}(t), t)\big). \]
(In parole povere, si considera \(\mathbf{x}\) come una funzione di \(t\)). Applicando la formula della derivata di funzione composta si ottiene
\[
\frac{d u}{dt}=\sum_i \frac{\partial u}{\partial x_i}(\mathbf{x}(t), t)\dot{x}^i(t)+\frac{\partial u}{\partial t}, \]
che si può anche scrivere in termini di prodotto scalare e operatore nabla:
\[
\frac{d u}{d t}=\dot{\mathbf{x}}\cdot\nabla u + \frac{\partial u }{\partial t}.\]

Questo modo di procedere è quello standard quando uno deve fare calcoli con operatori differenziali: si passa in coordinate (nel nostro caso le coordinate sono $x_1\ldots x_n$), si scompongono i vettori in componenti (nel nostro caso $\dot{\mathbf{x}}=\sum_i \dot{x}^i\hat{e}_i$) e si fanno i conti usando la formula per la derivata della funzione composta (e le altre identità differenziali). In questo modo si evitano errori.