Domanda su integrale (non su svolgimento ma teoria)
Vorrei chiedervi gentilmente una mano su una cosa su cui mi sono bloccato.
Se vogli integrare:
$int|f'(-r)|dr$ sostituendo $-r=s$ ho $dr=-ds$ => $-int|f'(s)|ds$ (*)
Però mi dico se procedo così perché non funziona?:
$f(-r)$ lo vedo come $f(g(r))$ di fatto è ua funzione composta.
ora posso derivare per regola della funzione composta: $(d(f(g)))/(dg)*(dg)/(dr)$ ma $(dg)/(dr)=-1$ e quindi:
$-1*(d(f(g)))/(dg)$
ora il punto che è delicato e penso sia qui l'errore ma non capisco perché: $(d(f(g)))/(dg)$ io derivo una funzione di g in g e quindi è come derivare la stessa funzione con variabile libera r, alla fine sono solo nomi che dò "r" o "g" e punto per punto il valore numerico della derivata è proprio lo stesso quindi la derivata è la stessa funzione nei due casi, qundi: $f'(-r)=f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$
OSS: in modo brutto in pratica $f'(-r)$ intendo $(df(-r))/(d(-r))$ nel senso che derivo rispetto a una variabile che è "-r", questo lo dico per spiegare il concetto ma in modo meno brutto e corretto dico che $-r=g$ e $(df(g))/(dg)$
e sostituendo: $int|f'(-r)|dr=int|-1*f'(r)|dr=int|f'(r)|dr$ e a meno della variabile muta r e s confrontandola con (*) ho un problema di segno e non sono lo stesso integrale come invece mi aspetterei.
Quindi credo che sia sbaglaito dire $f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ ma non capisco perché perché come osservavo o derivo nei confronti di una variabile in entrabe i casi, quindi la derivata è la stessa cosa.
Mi potreste dire cosa sbaglio nella teoria?
Se vogli integrare:
$int|f'(-r)|dr$ sostituendo $-r=s$ ho $dr=-ds$ => $-int|f'(s)|ds$ (*)
Però mi dico se procedo così perché non funziona?:
$f(-r)$ lo vedo come $f(g(r))$ di fatto è ua funzione composta.
ora posso derivare per regola della funzione composta: $(d(f(g)))/(dg)*(dg)/(dr)$ ma $(dg)/(dr)=-1$ e quindi:
$-1*(d(f(g)))/(dg)$
ora il punto che è delicato e penso sia qui l'errore ma non capisco perché: $(d(f(g)))/(dg)$ io derivo una funzione di g in g e quindi è come derivare la stessa funzione con variabile libera r, alla fine sono solo nomi che dò "r" o "g" e punto per punto il valore numerico della derivata è proprio lo stesso quindi la derivata è la stessa funzione nei due casi, qundi: $f'(-r)=f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$
OSS: in modo brutto in pratica $f'(-r)$ intendo $(df(-r))/(d(-r))$ nel senso che derivo rispetto a una variabile che è "-r", questo lo dico per spiegare il concetto ma in modo meno brutto e corretto dico che $-r=g$ e $(df(g))/(dg)$
e sostituendo: $int|f'(-r)|dr=int|-1*f'(r)|dr=int|f'(r)|dr$ e a meno della variabile muta r e s confrontandola con (*) ho un problema di segno e non sono lo stesso integrale come invece mi aspetterei.
Quindi credo che sia sbaglaito dire $f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ ma non capisco perché perché come osservavo o derivo nei confronti di una variabile in entrabe i casi, quindi la derivata è la stessa cosa.
Mi potreste dire cosa sbaglio nella teoria?
Risposte
Il $-$ non viene dalla derivata di $f$, ma da $"d"r = - "d"s$.
Ho visto che hai risposto mentre stavo editando, quindi sposto qui sotto il vecchio messaggio che si interseca col tuo:
MSG spostato:
Nel frattempo ragionandoci ancora mi accorgo non mi sia chiaro un altro esempio sulla falsa riga del precedente:
mettiamo di avere
g(r)=-r come prima e voler calcolare due cose:
1) $int (dalpha(g))/(dg)dr$ mi sorge un dubbio perché se so che $g(r)$ allora
$int (dalpha(g))/(dg)dr=int dotalphadr$ che però è $int dotalpha(g(r))dr$? sarebbe corretto scrivere questo?
2)se invece prendessi $int (dalpha(g))/(dr)dr=int(dalpha)/(dg)*(dg)/(dr)*dr=int-1*dotalpha(g)dr$, ma di nuovo essendo g(r) posso scrivere $int-1*dotalpha(g(r))dr$?
queste notazioni mi fanno una confusione pazzesca. E vorrei capire
________________
Per risponderti intanto:
No, certamente non viene dalla derivata, il meno della derivata $(d(-r))/(dr)$ rimane nel modulo nel secondo metodo che esponevo, mentre nel primo (cioè la classica sostituzione) se leggi bene la sostutizione che ho fatto in (*) ho scritto dr=-ds
Io penso di sbagliare qualcosa nel ragionamento che segnalavo nel primo messaggio, ma sai che proprio non lo capisco
EDIT: forse ho capito ora cosa dici, ti riferivi a qui:
$int|f'(-r)|dr=int|-1*f'(r)|dr=int|f'(r)|dr$
però qui non ho fatto una sostituzione, l'idea era questa:
$int|f'(-r)|dr=int|(d(f(g)))/(dg)*(dg)/(dr)|dr$ e siccome dg/dr=-1 ho
$int|-1*(d(f(g)))/(dg)|dr$
qui andavo a sfruttare quelllo che ho scritto nel quote sopra e quindi siccome derivo df(g) su dg e g è una variabile libera, non facevo danno a scrivere: $f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$, g e r sono nomi che dò alla variabile libera per cui derivo e quindi la derivata di f che sia in g o r è la stessa cosa.
da cui sostituendo:
$int|-1*(d(f(g)))/(dg)|dr=int|f'(r)|dr$
questo era il senso
MSG spostato:
Nel frattempo ragionandoci ancora mi accorgo non mi sia chiaro un altro esempio sulla falsa riga del precedente:
mettiamo di avere
g(r)=-r come prima e voler calcolare due cose:
1) $int (dalpha(g))/(dg)dr$ mi sorge un dubbio perché se so che $g(r)$ allora
$int (dalpha(g))/(dg)dr=int dotalphadr$ che però è $int dotalpha(g(r))dr$? sarebbe corretto scrivere questo?
2)se invece prendessi $int (dalpha(g))/(dr)dr=int(dalpha)/(dg)*(dg)/(dr)*dr=int-1*dotalpha(g)dr$, ma di nuovo essendo g(r) posso scrivere $int-1*dotalpha(g(r))dr$?
queste notazioni mi fanno una confusione pazzesca. E vorrei capire
________________
Per risponderti intanto:
"gugo82":
Il $-$ non viene dalla derivata di $f$, ma da $"d"r = - "d"s$.
No, certamente non viene dalla derivata, il meno della derivata $(d(-r))/(dr)$ rimane nel modulo nel secondo metodo che esponevo, mentre nel primo (cioè la classica sostituzione) se leggi bene la sostutizione che ho fatto in (*) ho scritto dr=-ds
Io penso di sbagliare qualcosa nel ragionamento che segnalavo nel primo messaggio, ma sai che proprio non lo capisco
ora il punto che è delicato e penso sia qui l'errore ma non capisco perché: $(d(f(g)))/(dg)$ io derivo una funzione di g in g e quindi è come derivare la stessa funzione con variabile libera r, alla fine sono solo nomi che dò "r" o "g" e punto per punto il valore numerico della derivata è proprio lo stesso quindi la derivata è la stessa funzione nei due casi, qundi: $f'(-r)=f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$
OSS: in modo brutto in pratica $f'(-r)$ intendo $(df(-r))/(d(-r))$ nel senso che derivo rispetto a una variabile che è "-r", questo lo dico per spiegare il concetto ma in modo meno brutto e corretto dico che $-r=g$ e $(df(g))/(dg)$
EDIT: forse ho capito ora cosa dici, ti riferivi a qui:
$int|f'(-r)|dr=int|-1*f'(r)|dr=int|f'(r)|dr$
però qui non ho fatto una sostituzione, l'idea era questa:
$int|f'(-r)|dr=int|(d(f(g)))/(dg)*(dg)/(dr)|dr$ e siccome dg/dr=-1 ho
$int|-1*(d(f(g)))/(dg)|dr$
qui andavo a sfruttare quelllo che ho scritto nel quote sopra e quindi siccome derivo df(g) su dg e g è una variabile libera, non facevo danno a scrivere: $f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$, g e r sono nomi che dò alla variabile libera per cui derivo e quindi la derivata di f che sia in g o r è la stessa cosa.
da cui sostituendo:
$int|-1*(d(f(g)))/(dg)|dr=int|f'(r)|dr$
questo era il senso
Perdonami ma ho editato un po' di volte
Che casino... Comunque, non stai derivando funzioni composte.
La \(f^\prime\) è la funzione da integrare. Se ti dà fastidio, puoi sostituirla con $\phi$ (in cui non compare alcuna derivata e non crea confusione).
La \(f^\prime\) è la funzione da integrare. Se ti dà fastidio, puoi sostituirla con $\phi$ (in cui non compare alcuna derivata e non crea confusione).
Eh te l'ho detto che ero incasinato
Comunque non ho capito il tuo suggerimento, in effetti io credevo fosse $f'(-x)$ inteso come voler derivare f per una "variabile" $-x$. però mettendo $f':=phi$ ho $phi(g(x))$ e va bene.
Ma non ho ben capito come trattare phi, essa è la derivata di f ma rispetto a cosa?
Tuttavia dato che questo discorso mi ha fatto sorgere altre domande, ho capitoche non era il caso precedente ma se io scrivessi questo:
Sia sempre $g(r)=-r $,
1) $int (dalpha(g))/(dg)dr$ mi sorge un dubbio perché se so che $g(r)$ allora
$int (dalpha(g))/(dg)dr=int dotalphadr$ che però è $int dotalpha(g(r))dr$? sarebbe corretto scrivere questo?
2)se invece prendessi $int (dalpha(g))/(dr)dr=int(dalpha)/(dg)*(dg)/(dr)*dr=int-1*dotalpha(g)dr$, ma di nuovo essendo g(r) posso scrivere $int-1*dotalpha(g(r))dr$?
3) chiedo questo perché mi confonde questa considerazione che facevo, quando scrivo $(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ a me sembra sensato dire: beh siccome derivo in g che è la variable libera il risultato è identico a derivare in r (sono normi arbitrari della variabile libera) e quindi: $(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ però non funziona perché in realtà $(d(f(g)))/(dg):=f'(g)=f'(-r)$ questa volta intesa che ho derivato per g=-r, e qundi risostituendo non è vero che ho l'uguaglianza $f'(g):=f'(-r)!=f'(r)$
PS: ripeto che non ha nulla a che fare col discorso iniziale, qui sto proprio parlando di vederla come "derivata di una funzione composta, ma prendere solo la derivata esterna df/dg della regola della catena df/dg*dg/dr, io mi incasino perché df/dg è derivare f rispetto a g, ma derivare rispetto alla variabile g è come derivare rispetto a r e quindi df(g(r))/dg=df(r)/dr.
Sti tre punti mi fanno uscire matto, ti giuro
Comunque non ho capito il tuo suggerimento, in effetti io credevo fosse $f'(-x)$ inteso come voler derivare f per una "variabile" $-x$. però mettendo $f':=phi$ ho $phi(g(x))$ e va bene.
Ma non ho ben capito come trattare phi, essa è la derivata di f ma rispetto a cosa?
Tuttavia dato che questo discorso mi ha fatto sorgere altre domande, ho capitoche non era il caso precedente ma se io scrivessi questo:
Sia sempre $g(r)=-r $,
1) $int (dalpha(g))/(dg)dr$ mi sorge un dubbio perché se so che $g(r)$ allora
$int (dalpha(g))/(dg)dr=int dotalphadr$ che però è $int dotalpha(g(r))dr$? sarebbe corretto scrivere questo?
2)se invece prendessi $int (dalpha(g))/(dr)dr=int(dalpha)/(dg)*(dg)/(dr)*dr=int-1*dotalpha(g)dr$, ma di nuovo essendo g(r) posso scrivere $int-1*dotalpha(g(r))dr$?
3) chiedo questo perché mi confonde questa considerazione che facevo, quando scrivo $(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ a me sembra sensato dire: beh siccome derivo in g che è la variable libera il risultato è identico a derivare in r (sono normi arbitrari della variabile libera) e quindi: $(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ però non funziona perché in realtà $(d(f(g)))/(dg):=f'(g)=f'(-r)$ questa volta intesa che ho derivato per g=-r, e qundi risostituendo non è vero che ho l'uguaglianza $f'(g):=f'(-r)!=f'(r)$
PS: ripeto che non ha nulla a che fare col discorso iniziale, qui sto proprio parlando di vederla come "derivata di una funzione composta, ma prendere solo la derivata esterna df/dg della regola della catena df/dg*dg/dr, io mi incasino perché df/dg è derivare f rispetto a g, ma derivare rispetto alla variabile g è come derivare rispetto a r e quindi df(g(r))/dg=df(r)/dr.
Sti tre punti mi fanno uscire matto, ti giuro
UP
Scusami @gugo82, volevo solo chiederti se ti avessi annoiato perché mi sono spiegato male, se posso rendere meglio le domande che vorrei tanto capire, o se solo non avessi ancora avuto tempo di rispondere (nel caso non volevo metterti fretta).
In attesa ti auguro buona gg.
Scusami @gugo82, volevo solo chiederti se ti avessi annoiato
perché mi sono spiegato male, se posso rendere meglio le domande che vorrei tanto capire, o se solo non avessi ancora avuto tempo di rispondere (nel caso non volevo metterti fretta).In attesa ti auguro buona gg.
La \(f^\prime\) è la derivata di $f$ rispetto alla variabile da cui essa dipende.
Esempio. Se hai $f(x) = \sqrt{1 - x^4}$ allora \(f^\prime (x) = \frac{-2x^3}{\sqrt{1 - x^4}}\) e quindi:
\[
\int |f^\prime (-r)|\ \text{d} r = \int \left| \frac{-2(-r)^3}{\sqrt{1 - (-r)^4}}\right|\ \text{d} r = \int \frac{2|r|^3}{\sqrt{1 - r^4}}\ \text{d} r\; .
\]
Come vedi, la derivazione della funzione composta non c'entra nulla.
Esempio. Se hai $f(x) = \sqrt{1 - x^4}$ allora \(f^\prime (x) = \frac{-2x^3}{\sqrt{1 - x^4}}\) e quindi:
\[
\int |f^\prime (-r)|\ \text{d} r = \int \left| \frac{-2(-r)^3}{\sqrt{1 - (-r)^4}}\right|\ \text{d} r = \int \frac{2|r|^3}{\sqrt{1 - r^4}}\ \text{d} r\; .
\]
Come vedi, la derivazione della funzione composta non c'entra nulla.
Ho capito, sostanzialmente è la "vautazione" della derivata in -r.
Vorrei chiederti solo un'utlimissima cosa, che era quello che dicevo sopra e non capisco perchè sia sbagliato ragionare così, vorrei capire l'errore per non ripeterlo in furuto perché solo capendolo lo farei mio.
chiedo questo perché mi confonde questa considerazione che facevo, quando scrivo $(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ a me sembra sensato dire: beh siccome derivo in g che è la variable libera il risultato è identico a derivare in r (sono normi arbitrari della variabile libera) e quindi: $f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ però non funziona perché in realtà $(d(f(g)))/(dg):=f'(g)=f'(-r)$ questa volta intesa che ho derivato per g=-r, e qundi risostituendo non è vero che ho l'uguaglianza $f'(g):=f'(-r)!=f'(r)$
forse con un esempio più concreto è più chiaro il dubbio:
sia g(r)=-r e f elevamento a quadrato: ^2
mettiamo però di voler derivare df(g)/dg, con questo intendiamo di voler derivare f funzione di g(r) in dg, quindi derivare in g f(g)=f(g(r)).
se io scrivo df(-r)/dg evidentemente ho $f'(-r)=2*(-r)$, però mi dico ok ma derivare f(g) rispetto a g è come dire derivo f(r) rispetto a r (g e r sono due nomi arbitrari della variabile libera per cui derivo), quindi mi aspettterei $2*g=2*r$ (o se vogliamo chiamiamola x: df/dx=2x, ripeto g, x,r son nomi arbitari).
Mi aspetterei che df(g)/dg=df(r)/dr e invece $2r!=2*(-r)$
Non riesco a vedere cosa non vada, ma è ovvio che sottenda un errore.
Vorrei chiederti solo un'utlimissima cosa, che era quello che dicevo sopra e non capisco perchè sia sbagliato ragionare così, vorrei capire l'errore per non ripeterlo in furuto perché solo capendolo lo farei mio.
chiedo questo perché mi confonde questa considerazione che facevo, quando scrivo $(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ a me sembra sensato dire: beh siccome derivo in g che è la variable libera il risultato è identico a derivare in r (sono normi arbitrari della variabile libera) e quindi: $f'(g)=(d(f(g)))/(dg)=(d(f(r)))/(dr)=f'(r)$ però non funziona perché in realtà $(d(f(g)))/(dg):=f'(g)=f'(-r)$ questa volta intesa che ho derivato per g=-r, e qundi risostituendo non è vero che ho l'uguaglianza $f'(g):=f'(-r)!=f'(r)$
forse con un esempio più concreto è più chiaro il dubbio:
sia g(r)=-r e f elevamento a quadrato: ^2
mettiamo però di voler derivare df(g)/dg, con questo intendiamo di voler derivare f funzione di g(r) in dg, quindi derivare in g f(g)=f(g(r)).
se io scrivo df(-r)/dg evidentemente ho $f'(-r)=2*(-r)$, però mi dico ok ma derivare f(g) rispetto a g è come dire derivo f(r) rispetto a r (g e r sono due nomi arbitrari della variabile libera per cui derivo), quindi mi aspettterei $2*g=2*r$ (o se vogliamo chiamiamola x: df/dx=2x, ripeto g, x,r son nomi arbitari).
Mi aspetterei che df(g)/dg=df(r)/dr e invece $2r!=2*(-r)$
Non riesco a vedere cosa non vada, ma è ovvio che sottenda un errore.
Nel secondo caso $g$ non è più un altro nome della variabile indipendente, ma $g=-r$ quindi si deriva una funzione composta.
@gugo82: grazie ancora
Non ho capito solo una cosa, non è una funzione composta. Infatti come dicevi anche tu nel messaggio subito sopra al mio "la derivazione della funzione composta non c'entra nulla".
Cioè se fosse composta sarebbe $2⋅(−r)*(-1)$ ma nel mio esempio è $f'(-r)=2⋅(−r)$, non è propriamente "composta".
Non ho capito solo questa affermazione del quote, connessa alla tua risposta prima, quella l'ho capita riferita al mio esempio.
Io derivo $(df(g(t)))/(dg)$ non $(df(g(t)))/(dt)$ che sarebbe la composta
Riporto di qua solo per comodità di lettura dato che ho visto che ha switchato pagina:
quindi si deriva una funzione composta
Non ho capito solo una cosa, non è una funzione composta. Infatti come dicevi anche tu nel messaggio subito sopra al mio "la derivazione della funzione composta non c'entra nulla".
Cioè se fosse composta sarebbe $2⋅(−r)*(-1)$ ma nel mio esempio è $f'(-r)=2⋅(−r)$, non è propriamente "composta".
Non ho capito solo questa affermazione del quote, connessa alla tua risposta prima, quella l'ho capita riferita al mio esempio.
Io derivo $(df(g(t)))/(dg)$ non $(df(g(t)))/(dt)$ che sarebbe la composta
Riporto di qua solo per comodità di lettura dato che ho visto che ha switchato pagina:
Stai calcolando il valore della funzione $("d"f)/("d"g)$ in $g(r)$ per poi integrare rispetto ad $r$.
Scrivere $("d" f(g(r)))/("d"g)$ non ha senso (la derivata va espressa rispetto ad una variabile indipendente), a meno che non voglia dire quello che ho scritto sopra, ma che sarebbe espresso meglio da $("d" f)/("d"g)(g(r))$ o da \(f^\prime(g(r))\).
Invece quando scrivi $("d" f(g(r)))/("d"r)$ vuol dire $("d" f)/("d"g)(g(r)) * ("d"g)/("d"r)(r)$ ossia \(f^\prime(g(r)) \cdot g^\prime(r)\) (derivazione della funzione composta rispetto alla variabile indipendente da cui essa dipende -quella più interna-).
Scrivere $("d" f(g(r)))/("d"g)$ non ha senso (la derivata va espressa rispetto ad una variabile indipendente), a meno che non voglia dire quello che ho scritto sopra, ma che sarebbe espresso meglio da $("d" f)/("d"g)(g(r))$ o da \(f^\prime(g(r))\).
Invece quando scrivi $("d" f(g(r)))/("d"r)$ vuol dire $("d" f)/("d"g)(g(r)) * ("d"g)/("d"r)(r)$ ossia \(f^\prime(g(r)) \cdot g^\prime(r)\) (derivazione della funzione composta rispetto alla variabile indipendente da cui essa dipende -quella più interna-).
@gugo82: Ti prego di scusarmi ma credo di aver mischiato più piani. dato che la composizione mi era ora chiara l'avevo lasciata da parte procedendo solo con l'ultimo dubbio rimasto.
In realtà ora non volevo più parlare dell'esempio di integrazione ma il mio dubbio era puramente sul lato derivata.
Quindi azzeriamo il vecchio dubbio e mi rispiego daccapo meglio
uso la tua notazione perché in realtà intendevo nella mia scrittura questa, solo che pensavo fossero la stessa cosa, quindi...
quando mi trovo di fronte $("d" f)/("d"g)(g(r))$ io derivavo $(d(f(g)))/(dg)$, quello che volevo dire è che essendo variabile indipendente g, è la stessa cosa che derivare $(d(f(r)))/(dr)$, g e r sono puri nomi per la variabile indipedente.
Mi stupiva quindi il perché svolgendo questa derivata con $g=-r$ e f elevamento a quadrato (per fare un esempio concreto) Io avrei:
$f'(g(r))=(d(g^2))/(dg)=2g$ e qui mi sarei fermato, invece di solito ne esce $f'(g(r))=f'(-r)=2*(-r)$ quindi mi sembra che g non sia così a scelta come variabile libera per cui derivo. Perché invece $(d(r^2))/(dr)=2r$
E infatti: $f'(g)=2*(-r)!=2*r=f'(r)$, mentre io credevo che essendo g e r nomi puramente arbitrari venisse $f'(g)=f'(r)$; è come se stessi dicendo che cambiare nome della variabile per cui derivo da r -> g io ho una derivata diversa, non è assurdo?
(ecco io vorrei capire qui dove sbaglio nel ragionamento)
in sostanza mi stupsce perché mi sarei aspettato la stessa cosa derivare f(g) per g e f(r) per r, invece in g poi mi ritrovo un $-r$ in più. Cioè come se componessi nuovamente la derivata con la funzone g.
Non ho poi capito una seconda cosa, cosa cambi da $("d" f(g(r)))/("d"g)$ e $("d" f)/("d"g)(g(r))$ da te scritte, ch eg dipenda a sua volta da r non mi importa perché ora la mia variabile indipendnte è proprio g.
Non sono la stessa cosa?
So che ti chiedo molto, ma ti ringrazio anto perché non saprei davvero come uscirne da solo
In realtà ora non volevo più parlare dell'esempio di integrazione ma il mio dubbio era puramente sul lato derivata.
Quindi azzeriamo il vecchio dubbio e mi rispiego daccapo meglio
uso la tua notazione perché in realtà intendevo nella mia scrittura questa, solo che pensavo fossero la stessa cosa, quindi...
quando mi trovo di fronte $("d" f)/("d"g)(g(r))$ io derivavo $(d(f(g)))/(dg)$, quello che volevo dire è che essendo variabile indipendente g, è la stessa cosa che derivare $(d(f(r)))/(dr)$, g e r sono puri nomi per la variabile indipedente.
Mi stupiva quindi il perché svolgendo questa derivata con $g=-r$ e f elevamento a quadrato (per fare un esempio concreto) Io avrei:
$f'(g(r))=(d(g^2))/(dg)=2g$ e qui mi sarei fermato, invece di solito ne esce $f'(g(r))=f'(-r)=2*(-r)$ quindi mi sembra che g non sia così a scelta come variabile libera per cui derivo. Perché invece $(d(r^2))/(dr)=2r$
E infatti: $f'(g)=2*(-r)!=2*r=f'(r)$, mentre io credevo che essendo g e r nomi puramente arbitrari venisse $f'(g)=f'(r)$; è come se stessi dicendo che cambiare nome della variabile per cui derivo da r -> g io ho una derivata diversa, non è assurdo?
(ecco io vorrei capire qui dove sbaglio nel ragionamento)in sostanza mi stupsce perché mi sarei aspettato la stessa cosa derivare f(g) per g e f(r) per r, invece in g poi mi ritrovo un $-r$ in più. Cioè come se componessi nuovamente la derivata con la funzone g.
Non ho poi capito una seconda cosa, cosa cambi da $("d" f(g(r)))/("d"g)$ e $("d" f)/("d"g)(g(r))$ da te scritte, ch eg dipenda a sua volta da r non mi importa perché ora la mia variabile indipendnte è proprio g.
Non sono la stessa cosa?
So che ti chiedo molto, ma ti ringrazio anto perché non saprei davvero come uscirne da solo
"caltanissetta":
@gugo82: Ti prego di scusarmi ma credo di aver mischiato più piani. dato che la composizione mi era ora chiara l'avevo lasciata da parte procedendo solo con l'ultimo dubbio rimasto.
Scusa, non avevo capito.
"caltanissetta":
[...] quando mi trovo di fronte $("d" f)/("d"g)(g(r))$ io derivavo $(d(f(g)))/(dg)$, quello che volevo dire è che essendo variabile indipendente g, è la stessa cosa che derivare $(d(f(r)))/(dr)$, g e r sono puri nomi per la variabile indipendente.
Il simbolo:
$("d" f)/("d" g) (g)$ (o, equivalentemente, \(f^\prime (g)\))
significa calcolare il valore della derivata di $f$ nel punto $g$. Qui puoi cambiare il nome della variabile indipendente come credi, non fai alcun danno.
Mentre il simbolo:
$("d" f)/("d" g) (g(r))$ (o, equivalentemente, \(f^\prime (g(r))\))
vuol dire che calcoli il valore della derivata di $f$ (fatta rispetto alla variabile indipendente da cui essa dipende) nel punto $g(r)$. Qui non puoi aspettarti di poter cambiare il nome della variabile come vuoi né puoi aspettarti che il risultato ottenuto sia uguale a quello che ottieni dalla derivata precedente cambiando il nome della variabile (ossia ponendo sopra $g=r$).
"caltanissetta":
Mi stupiva quindi il perché svolgendo questa derivata con $g=-r$ e f elevamento a quadrato (per fare un esempio concreto) Io avrei:
$f'(g(r))=(d(g^2))/(dg)=2g$ [...]
No, non avresti: l'uguaglianza che hai scritto non significa nulla.
Infatti, se la variabile indipendente a sinistra è $r$, a destra non può essere $g$.
"caltanissetta":
[...] invece di solito ne esce $f'(g(r))=f'(-r)=2*(-r)$ quindi mi sembra che g non sia così a scelta come variabile libera per cui derivo. Perché invece $(d(r^2))/(dr)=2r$ [...]
[...] in sostanza mi stupisce perché mi sarei aspettato la stessa cosa derivare f(g) per g e f(r) per r, invece in g poi mi ritrovo un $-r$ in più. Cioè come se componessi nuovamente la derivata con la funzione g.
Sinceramente, non vedo cosa ti sembri strano.
Perché ti aspetti che \(f^\prime (r)\) e \(f^\prime (-r)\) debbano dare lo stesso risultato? Questo non succede in generale, con nessuna funzione che non sia pari... Perché dovrebbe succedere con le derivate?
In altri termini, nel primo caso stai valutando una funzione (cioè \(f^\prime\)) nel punto $r$, nell'altro in $-r$; a meno che $r$ non sia zero, i due punti sono diversi ed è del tutto ovvio che in generale producano, quando "dati in pasto" ad una funzione, risultati differenti.
"caltanissetta":
E infatti: $f'(g)=2*(-r)!=2*r=f'(r)$, mentre io credevo che essendo g e r nomi puramente arbitrari venisse $f'(g)=f'(r)$; è come se stessi dicendo che cambiare nome della variabile per cui derivo da r -> g io ho una derivata diversa, non è assurdo?
Stesso errore di prima, ma al rovescio.
Se la variabile indipendente a sinistra è $g$, a destra non può essere $r$.
Non capisco perché se per te $g=-r$ o $g=r$. Deciditi... O sono una variabile dipendente dall'altra (primo caso) e quindi non sono la stessa cosa; oppure sono la stessa variabile (secondo caso), e puoi usarle indifferentemente come "segnaposto".
"caltanissetta":
Non ho poi capito una seconda cosa, cosa cambi da $("d" f(g(r)))/("d"g)$ e $("d" f)/("d"g)(g(r))$ da te scritte, che $g$ dipenda a sua volta da $r$ non mi importa perché ora la mia variabile indipendente è proprio $g$.
Non sono la stessa cosa?
No, non lo sono.
Il simbolo $("d")/("d" text(variabile))$ indica la derivata rispetto alla variabile indipendente: allora va bene scrivere $("d" f)/("d" g) = ("d")/("d"g)[f(g)]$ quando $f$ dipende da $g$ oppure $("d" y)/("d" x)=("d")/("d"x)[y(x)]$ se $y$ dipende da $x$; ma non va bene scrivere $("d" f(g(r)))/("d" g)$, perché la funzione composta dipende dalla variabile interna $r$, non da $g$.
Esempio concreto: se $f(g) = sin g$ e $g(r) = r^2$, che diamine vuol dire $("d")/("d" g) [sin r^2]$? Dov'è la variabile $g$ nella funzione da derivare???
Scusa, non avevo capito.figuati, qui la colpa è solo mia perché sei tu che mi stai aiutando e quindi sono io che devo spiegarmi in modo corretto per farmi capire pienamente e avevo miseramente fallito. Quindi grazie per la pazienza che mi hai riservato, piuttosto
.Dopo la tua spiegazione forse ho individuato il mio errore interpretativo, vediamo se ho capito:
a) quando scrivevo $f'(r)$ o $f'(g(r))=f'(-r)$ nella mia testa partiva l'idea che io derivassi f rispetto a r o g(r) rispettivamente, e non mi ero accorto che in realtà la simbologia voleva dire: tu hai nota la funzione f' e poi mi vai a valutare nel punto il valore della funzione derivata. Insomma è esattamente come in f(x) come mi hai fatto notare: hai la funzione f e la valuti in x. Invece io vedevo come il compiere la derivata rispetto alla "variabile" tra parentesi che era r o g(r) e quello mi portava fuori strada perché poi dicevo " ma r o g sono nomi a caso e posso intercambiarli" e veniva fuori un pasticcio.
Quindi in definitiva, $f'(g(r))=(df)/(dg)(g(r))$ vuol dire come appena detto "calcoli la derivata di f rispetto a g e la valuti in g(r)".
b) un secondo errore era il seguente: ero convinto che $f'(g(r))=(df)/(dg)(g(r))=(d(f(g(r))))/(dg)$ e quindi l'ultimo membro a destra lo leggevo come deriva f che dipende da g la quale a sua volta dipende da r, però derivalo rispetto a g. A questo punto dicevo ok, ma se io derivo f che dipende da g rispetto a g sarebbe come derivare f che ripende da una variabile chiamata r rispetto ad r.
Ma questo è un errore perché il simbolo $(d(f(g(r))))/(dg)$ non vuol dire quello che pensavo e non vuol dire nulla.
Conclusione di ciò: è vero che se ho $f(g(r))$ quindi $f(g)$ posso dire che derivare f rispetto a g è: $(df)/(dg)$ che mi dà f', ora questa mi dà una funzione uguale a considerare una $f(r)$ e derivarla rispetto ad r: $(df)/(dr)$. Siccome sono nomi arbitrari $g$ o $r$ le funzioni f' trovate $f'=(df)/(dg)=(df)/(dr)=f'$ sono le stesse. Nel nostro esempio di sempre $f'=(d(g^2))/(dg)=2g$ ma è uguale a $f'=(d(r^2))/(dr)=2r$ in quanto segnaposto arbitrario.
=> Dai due precedenti si è quindi capito che $(df)/(dx)=f'$ che è la derivata che è diverso da scrivere $(df)/(dx)(x)=f'(x)$ che è la valutazione della derivata precedente nel punto x.
Quello che mi aveva confuso era che sia $f(x)=x^2$, allora avevo:
$(df)/(dx)=f'=(d(x^2))/(dx)=2x$ e $(df)/(dx)(x)=f'(x)=(d(x^2))/(dx)(x)=2x$ e quindi avendo come espressione esplicita $f'(x)=2x=f'$ mi parevano la "stessa cosa". Ma in realtà vanno lette in modo distinto: una è per intendere la funzone derivata f' e l'altra è a tutti gli effetti una valutazione della funzone derivata (precedente) in x: f'(x). Non so se mi sono spiegato
Torna? Mi pare di sì ora
Spero sia ora tutto giusto e mi chiedevo con ciò un'ultima cosa:
riprediamo la $(df)/(dg)(g)=f'(g)$
ma è anche valido scrivere
:1) $(df)/(dg)(g)=(df)/(dr)(g)=f'(g)$ secondo me si perché appunto la variabile per cui derivo è il "segnaposto muto" quindi è come se nella prima stessi derivando f che dipende da g rispetto a g, nella seconda la stessa f che dico avere variabile indipendente chiamata ora r rispeto a r; e poi sto solo dicendo che le valuto in g in entrambi i casi.
2) seconda cosa, è altresì valida una notazione del genere? $(df(g))/(dg)(g)=f'(g)$ o $(df(r))/(dr)(g)=f'(g)$ e quindi anche $(df(g))/(dg)=f'$ così come $(df(r))/(dr)=f'$, in cui cioè voglio solo mostrare la dipendenza esplicita di f da suo "segnaposto" variabile libera. Mi pare anche qui di rispondere affermativamente perché se abbiamo detto che $(df(g))/(dg)$ vuol dire $(df)/(dg)$ allora: $(df)/(dg)(g)=(df(g))/(dg)(g)=f'(g)$
PS:
Per quanto ci stia ragionando da ore mi trovo comunque dubbioso su alcune cose dette in precedenza, e magari possono spiegare meglio quanto sopra, le aggiungo qui per comprendere meglio il messaggio sopra se non fosse chiaro.
Capissi questa cosa sarei davvero contanto
, mi sto fondendo su sta roba.
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