Domanda su funzioni integrabili secondo Riemann

[Sk_Anonymous]

Consideriamo la funzione di Dirichlet. Per questa funzione ha senso chiedersi se è integrabile secondo Riemann, però poi si scopre che essa non lo è. Prendiamo, invece, la funzione $x^2$ se $x in [0,4]$, $8$ se $x in [6,10]$. Per questa funzione non ha proprio senso chiedersi se è integrabile secondo Riemann. E' giusto?

[Seneca1]

"Ha senso chiedersi"?

[Sk_Anonymous]

Si, ho sbagliato qualcosa nell'ortografia?

[Seneca1]

A me la tua domanda sembra mal posta. Non mi è chiaro cosa contraddistingue le due situazioni; ha senso chiedersi o non ha senso chiedersi una certa cosa.

[Sk_Anonymous]

"Seneca":A me la tua domanda sembra mal posta. Non mi è chiaro cosa contraddistingue le due situazioni; ha senso chiedersi o non ha senso chiedersi una certa cosa.

La prima riga della definizione di integrale di Riemann, dice: "sia f una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato, limitata". La funzione di Dirichlet rispetta questa prima condizione, per cui ho detto che ha senso chiedersi se è integrabile. La seconda funzione che ho scritto, invece, non rispetta la condizione sopra espressa, in quanto non è definita in un intervallo chiuso e limitato. Di conseguenza, ho detto che non ha proprio senso chiedersi se è integrabile.
Che ne pensi?
Grazie.

[gio73]

Ciao Lisdap,
mi sembra che tu sia molto affezionato a questo forum dal quale hai ricevuto tantissime risposte.
Ora ti chiedo di metterti dall'altra parte: io non sono laureata in matematica e tantissimissime cose non le so proprio, ho un'infarinatura gnerale (forse). Dunque puoi provare a spiegare a me quello che vuoi dire sapendo che non posso capire quello che lasci sottinteso, devi essere molto chiaro. Forse questo esercizio può esserti utile a chiarire i concetti che hai in mente, io di contro potrei imparare qualcosa. Iniziamo
com'è la funzione di Dirichlet?

[Sk_Anonymous]

Il Teorema di Vitali-Lebesgue permette di individuare le funzioni definite su \(\displaystyle \mathbb{R}^{n} \) che siano Riemann-integrabili ( - fornisce infatti una condizione necessaria e sufficiente). La funzione di Dirichlet è discontinua in tutti i punti del suo dominio (più precisamente la misura dell'insieme dei suoi punti di discontinuità è non nulla) e quindi, per il teorema sopra citato, non è Riemann-integrabile.

[gugo82]

@ lisdap: Detto fuori dai denti, mi spieghi perchè qualcuno dovrbbe prendersi la briga di risponderti?
L'ultima volta che ho risposto in un tuo thread, ho perso circa un'ora a scrivere qualcosa di sensato, ma quel post è rimasto "lettera morta" e non ha ricevuto alcuna risposta, nemmeno un semplice "grazie".
Mi spieghi perchè qualcuno che ha visto questi comportamenti dovrebbe essere interessato a discutere con te?


P.S.: Per tornare IT, (detto in poche parole, giacché ho capito che non vale la pena sforzarsi) tutto dipende dalle definizioni che hai.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":@ lisdap: Detto fuori dai denti, mi spieghi perchè qualcuno dovrbbe prendersi la briga di risponderti?
L'ultima volta che ho risposto in un tuo thread, ho perso circa un'ora a scrivere qualcosa di sensato, ma quel post è rimasto "lettera morta" e non ha ricevuto alcuna risposta, nemmeno un semplice "grazie".
Mi spieghi perchè qualcuno che ha visto questi comportamenti dovrebbe essere interessato a discutere con te?


P.S.: Per tornare IT, (detto in poche parole, giacché ho capito che non vale la pena sforzarsi) tutto dipende dalle definizioni che hai.

Sto riflettendo su varie questioni e ho bisogno di tempo. Se non rispondo è perché ci sto pensando!