Domanda su funzioni e derivate
Salve a tutti,
un noto teorema ci dice che se una funzione è derivabile in un punto allora in quel punto sarà anche continua. Ma, se data la funzione f, questa è derivabile in un punto x, allora possiamo essere certi che la derivata f' è continua in quel punto? Io credo che non sia scontato a priori, ma non sono riuscito a trovare un controesempio. Grazie
un noto teorema ci dice che se una funzione è derivabile in un punto allora in quel punto sarà anche continua. Ma, se data la funzione f, questa è derivabile in un punto x, allora possiamo essere certi che la derivata f' è continua in quel punto? Io credo che non sia scontato a priori, ma non sono riuscito a trovare un controesempio. Grazie
Risposte
In effetti la questione è un po' tricky... Però c'è un esempio abbastanza classico. 
Prendiamo la funzione [tex]$f(x) := x^2\sin\frac{1}{x}$[/tex] che è definita in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] epperò può essere prolungata per continuità su [tex]$0$[/tex] ponendo:
[tex]$f(0)=0=\lim_{x\to 0} f(x)$[/tex];
nel seguito denotiamo con [tex]$f(x)$[/tex] il prolungamento appena descritto.
La [tex]$f(x)$[/tex] è derivabile in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] con derivata continua: infatti, con le note regole di derivazione si trova:
[tex]$f^\prime (x) =2x\sin\frac{1}{x} -\cos\frac{1}{x} \qquad \text{per $x\neq 0$}$[/tex]
e si vede facilmente che [tex]$\lim_{x\to 0} f^\prime (x)$[/tex] non esiste (infatti, anche se l'addendo [tex]$2x\sin \frac{1}{x}$[/tex] è infinitesimo in [tex]$0$[/tex], l'altro addendo [tex]$\cos \frac{1}{x}$[/tex] non ha limite per [tex]$x\to 0$[/tex]).
Tuttavia, calcolando il limite del rapporto incrementale della [tex]$f(x)$[/tex] nel punto [tex]$0$[/tex] troviamo:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0} x\sin \frac{1}{x} =0$[/tex]
sicché [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$0$[/tex] e risulta [tex]$f^\prime (0)=0$[/tex].
Per quanto visto prima, [tex]$f^\prime$[/tex] è definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ma è discontinua in [tex]$0$[/tex] (perchè non esiste il [tex]$\lim_{x\to 0} f^\prime (x)$[/tex]); quindi [tex]$f$[/tex] è derivabile ovunque ma ha la derivata discontinua in [tex]$0$[/tex].
Prendiamo la funzione [tex]$f(x) := x^2\sin\frac{1}{x}$[/tex] che è definita in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] epperò può essere prolungata per continuità su [tex]$0$[/tex] ponendo:
[tex]$f(0)=0=\lim_{x\to 0} f(x)$[/tex];
nel seguito denotiamo con [tex]$f(x)$[/tex] il prolungamento appena descritto.
La [tex]$f(x)$[/tex] è derivabile in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] con derivata continua: infatti, con le note regole di derivazione si trova:
[tex]$f^\prime (x) =2x\sin\frac{1}{x} -\cos\frac{1}{x} \qquad \text{per $x\neq 0$}$[/tex]
e si vede facilmente che [tex]$\lim_{x\to 0} f^\prime (x)$[/tex] non esiste (infatti, anche se l'addendo [tex]$2x\sin \frac{1}{x}$[/tex] è infinitesimo in [tex]$0$[/tex], l'altro addendo [tex]$\cos \frac{1}{x}$[/tex] non ha limite per [tex]$x\to 0$[/tex]).
Tuttavia, calcolando il limite del rapporto incrementale della [tex]$f(x)$[/tex] nel punto [tex]$0$[/tex] troviamo:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0} x\sin \frac{1}{x} =0$[/tex]
sicché [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$0$[/tex] e risulta [tex]$f^\prime (0)=0$[/tex].
Per quanto visto prima, [tex]$f^\prime$[/tex] è definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ma è discontinua in [tex]$0$[/tex] (perchè non esiste il [tex]$\lim_{x\to 0} f^\prime (x)$[/tex]); quindi [tex]$f$[/tex] è derivabile ovunque ma ha la derivata discontinua in [tex]$0$[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo