Domanda su funzione

[francicko]

Esiste un esempio di una funzione continua e derivabile in $R $ tale che sia $f (0)=0$, ed $f'(0)=0$, e tale che comunque preso un intorno $I_0$ di $0$, esiste un $x $$in$ $I_0$, in cui la funzione
si annulla.

[billyballo2123]

Sì, la funzione nulla $f(x)=0$.
Se vuoi qualcosa di meno banale, la funzione
$f(x)= { ( x^2\sin(1/x) \quad \text{se }x\ne 0 ),( 0 \quad \text{se }x=0 ):} $.

[francicko]

Ok, puoi cortesemente mostrarmi come la seconda funzione e' derivabile in $x=0$;
Intuitivamente osservando il grafico riesco a spiegarmelo in quanto e' racchiuso tra le parabole $y=x^2$, ed $y=-x^2$, quindi in $0$ la derivata vale $0$, non riesco a descriverlo analiticamente.
Grazie!

[billyballo2123]

Ok! Facendo il rapporto incrementale nell'origine (ricordando che f(0)=0) si ottiene
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin\Big(\frac{1}{h}\Big)}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\bigg(\frac{1}{h}\bigg)=0.
\]