Domanda su derivata
Ragazzi, ma l'incremento che le ordinate della funzione subiscono rispetto ad un incremento infinitesimo delle ascisse, cioè la derivata, è calcolato lungo la retta tangente vero? In altre parole, la derivata in un punto quantifica l'incremento delle ordinate rispetto alla retta tangente, ma non mi dice esattamente di quanto sono incrementate le ordinate della funzione. Però, siccome ordinate della retta tangente e ordinate della funzione sono vicinissime, si può dire che la derivata calcoli esattamente l'incremento della funzione. Quindi, l'incremento ESATTO delle ordinate della funzione è dato dalla somma del differenziale nel punto più un certo margine di errore?
Risposte
Quello che dici all'inizio, «l'incremento che le ordinate della funzione subiscono rispetto ad un incremento infinitesimo delle ascisse», non è la derivata, ma il differenziale.
Stessa cosa per la frase dopo: «la derivata in un punto quantifica l'incremento delle ordinate rispetto alla retta tangente». Non sono sicuro di aver capito cosa intendi, ma penso tu ti riferisca al differenziale, in quanto [tex]df = (x - x_0) \cdot f'(x_0) \Leftrightarrow x \to x_0[/tex] cioè l'incremento della retta tangente.
Per rispondere alla tua domanda, guarda le seguenti scritture, che sono tutte equivalenti:
[tex]f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \Leftrightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) + o(1)[/tex]
E sostituendo i simboli si ha
[tex]\frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(x_0) + o(1)[/tex]
cioè
[tex]\Delta f = f'(x_0) \cdot \Delta x + o(\Delta x)[/tex]
dove
[tex]f'(x_0) \cdot \Delta x = df[/tex]
e sostituito mi da
[tex]\Delta f = df + o(\Delta x)[/tex]
Il che significa che l'incremento delle ordinate è uguale al differenziale della funzione in quel punto più un incremento infinitesimo, che è l'errore commesso nell'approssimazione.
Non so se sono riuscito a farmi capire
Stessa cosa per la frase dopo: «la derivata in un punto quantifica l'incremento delle ordinate rispetto alla retta tangente». Non sono sicuro di aver capito cosa intendi, ma penso tu ti riferisca al differenziale, in quanto [tex]df = (x - x_0) \cdot f'(x_0) \Leftrightarrow x \to x_0[/tex] cioè l'incremento della retta tangente.
Per rispondere alla tua domanda, guarda le seguenti scritture, che sono tutte equivalenti:
[tex]f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \Leftrightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) + o(1)[/tex]
E sostituendo i simboli si ha
[tex]\frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(x_0) + o(1)[/tex]
cioè
[tex]\Delta f = f'(x_0) \cdot \Delta x + o(\Delta x)[/tex]
dove
[tex]f'(x_0) \cdot \Delta x = df[/tex]
e sostituito mi da
[tex]\Delta f = df + o(\Delta x)[/tex]
Il che significa che l'incremento delle ordinate è uguale al differenziale della funzione in quel punto più un incremento infinitesimo, che è l'errore commesso nell'approssimazione.
Non so se sono riuscito a farmi capire
quello che voglio dire è che la derivata (in quanto coefficiente angolare) mi da un'informazione sull'incremento delle ordinate relative alla retta tangente (differenziale), ma non relative al grafico di f, giusto?
Fossi in te non mi farei questi problemi.
Il rapporto incrementale, si, misura l'incremento in termini lineari in un certo intervallo $\delta$. Tuttavia, al tendere di $\delta$ a 0, questa incremento viene praticamente a coincidere con l'incremento effettivo della funzione. TUTTAVIA tale equivalenza vale in un intorno infinitesimo $\delta$ dell'ascissa considerata!
Nella pratica per misurare l'incremento della funzione in un intorno finito $\Delta$ dovresti sommare tutti questi incrementi infinitesimi nell'intervallo $\Delta$, utilizzando l'integrazione e quindi ottenendo:
$f(x) - f(x_0) = int_{x_0}^x Df(x) dx$
Rispondendo definitivamente alla tua domanda: il rapporto incrementale misura l'incremento su una retta, ma posto al limite, questo viene a coincidere con l'incremento infinitesimo della funzione.
Il rapporto incrementale, si, misura l'incremento in termini lineari in un certo intervallo $\delta$. Tuttavia, al tendere di $\delta$ a 0, questa incremento viene praticamente a coincidere con l'incremento effettivo della funzione. TUTTAVIA tale equivalenza vale in un intorno infinitesimo $\delta$ dell'ascissa considerata!
Nella pratica per misurare l'incremento della funzione in un intorno finito $\Delta$ dovresti sommare tutti questi incrementi infinitesimi nell'intervallo $\Delta$, utilizzando l'integrazione e quindi ottenendo:
$f(x) - f(x_0) = int_{x_0}^x Df(x) dx$
Rispondendo definitivamente alla tua domanda: il rapporto incrementale misura l'incremento su una retta, ma posto al limite, questo viene a coincidere con l'incremento infinitesimo della funzione.
"pater46":
Fossi in te non mi farei questi problemi.
Il rapporto incrementale, si, misura l'incremento in termini lineari in un certo intervallo $\delta$. Tuttavia, al tendere di $\delta$ a 0, questa incremento viene praticamente a coincidere con l'incremento effettivo della funzione. TUTTAVIA tale equivalenza vale in un intorno infinitesimo $\delta$ dell'ascissa considerata!
Nella pratica per misurare l'incremento della funzione in un intorno finito $\Delta$ dovresti sommare tutti questi incrementi infinitesimi nell'intervallo $\Delta$, utilizzando l'integrazione e quindi ottenendo:
$f(x) - f(x_0) = int_{x_0}^x Df(x) dx$
Rispondendo definitivamente alla tua domanda: il rapporto incrementale misura l'incremento su una retta, ma posto al limite, questo viene a coincidere con l'incremento infinitesimo della funzione.
ok, perfetto, era quello che pensavo, grazie
La retta tangente (seppure ci sia
intuitiva) è definita
sull'idea di differenziale.
Per cui... se non prima definisci differenziale (e derivata)... nessuna retta tangente!
intuitiva) è definita
sull'idea di differenziale.
Per cui... se non prima definisci differenziale (e derivata)... nessuna retta tangente!
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