Domanda su convergenza integrale improprio,estr integrazione

[smaug1]

$\int_0^1 \frac{\cos^2x + 3}{x^b + \sqrt{x}}$

con $b \in \mathbb{R}$

In $1$ la funzione non dà problemi, mentre in $0$ si. Quindi per $x->0^+$ devo distinguere dei casi:

Al numeratore posso dire che ho $4$ mentre al denominatore dipende dal valore di $b$. Siccome $x->0^+$ nel caso in cui $b$ è l'esponente maggiore, quando è $> 1/2$ va considerato $\sqrt{x}$, quando è $< 1/2$ va preso $x^b$

$1.$ $b> 1/2$ $f(x) \sim 4 / \sqrt{x}$ siccome abbiamo $4 / 0^+$ per me diverge anche se nella soluzione dice che è convergente...io ho pensato che è convergente a causa degli estremi di integrazione, ma non ne sono sicuro, il fatto che $\int_0^1(...)$ cosa mi comporta in questo caso, è come se fosse limitata? Ho intuito questo fatto, ma mi piacerebbe avere uno splendido chiarimento dei vostri.

$2.$ $b= 1/2$ $f(x) \sim 4 / (2 \sqrt{x})$ converge

$3.$ $b < 1/2 $ $f(x) \sim 4 / x^b$ che converge essendo $1/2 < 1$


Grazie

[andreabs85]

Io direi questo:

$\cos^2 x +3<= 4$ e se $b>1/2$ hai che $x^b+sqrt(x) >= x^b$ e quindi $\frac{1}{x^b+sqrt(x)}<=\frac{1}{x^b}$

e quindi

$ \int_0^1 \frac{\cos^2x + 3}{x^b +sqrt(x)} dx<= \int_0^1\frac{4}{x^b}$ che converge per $b<1$

Resta il fatto che se $b>=1$ l'integrale diverge!

[smaug1]

"andreabs85":Io direi questo:

$\cos^2 x +3<= 4$ e se $b>1/2$ hai che $x^b+sqrt(x) >= x^b$ e quindi $\frac{1}{x^b+sqrt(x)}<=\frac{1}{x^b}$

e quindi

$ \int_0^1 \frac{\cos^2x + 3}{x^b +sqrt(x)} dx<= \int_0^1\frac{4}{x^b}$ che converge per $b<1$

Resta il fatto che se $b>=1$ l'integrale diverge!

mi sembra giusto però io ho come risultato che converge $\forall b \in \mathbb{R}$

[StefanoMDj]

effettivamente $\int 1/x$ diverge in $[1,+oo)$...

qui il caso in questione è $(0,1]$ quindi bisognerà comportarsi in maniera differente...

[smaug1]

"StefanoMDj":effettivamente $\int 1/x$ diverge in $[1,+oo)$...

qui il caso in questione è $(0,1]$ quindi bisognerà comportarsi in maniera differente...

infatti è proprio il mio dubbio...

[andreabs85]

"davidedesantis":[quote="andreabs85"]Io direi questo:

$\cos^2 x +3<= 4$ e se $b>1/2$ hai che $x^b+sqrt(x) >= x^b$ e quindi $\frac{1}{x^b+sqrt(x)}<=\frac{1}{x^b}$

e quindi

$ \int_0^1 \frac{\cos^2x + 3}{x^b +sqrt(x)} dx<= \int_0^1\frac{4}{x^b}$ che converge per $b<1$

Resta il fatto che se $b>=1$ l'integrale diverge!

mi sembra giusto però io ho come risultato che converge $\forall b \in \mathbb{R}$[/quote]

Bè, ricorda che noi abbiamo fatto una maggiorazione per avere la convergenza. Se $b>=1$ abbiamo che $\int_0^1 4/x^b$ diverge, ma ciò non significa che diverge anche l'integrale di partenza.

Quindi:

CASO 1 ($1/2 Va bene il mio ragionamento, in quanto in un intorno di zero $sqrt(x)$ va a zero più velocemente di $x^\beta$ con $1/2<\beta<1$ e quindi $x^b+sqrt(x) \sim x^b$.

CASO 2 ($b>=1$)
$\int_0^1 \frac{\cos^2 x +3}{x^b+sqrt(x)}$ ed hai che la $x^b$ va a zero più velocemente della radice. quindi in un intorno di zero (intorno destro ovviamente) sai che $x^b+sqrt(x) \sim sqrt(x)$ per $x$ molto prossima allo zero.

Quindi:

$\int_0^1 \frac{\cos^2 x +3}{x^b+sqrt(x)} \sim \int_0^1 \frac{\cos^2 x +3}{sqrt(x)}<=\int_0^1 \frac{4}{sqrt(x)}$ che sappiamo convergere in quanto è la forma nota $\int_0^1 1/x^\alpha$ con $\alpha=1/2<1$