Domanda su continuità e invertibilità

[leo91tn]

E' vero che una funzione continua e invertibile ammette sempre inversa continua?
Secondo quanto leggo sul mio libro, mi pare di capire di si. ho ragione o manca qualche condizione per renderla vera?
thanks

[Pierlu11]

Manca l'ipotesi che $ f:I->J $ con $ I,J $ intervalli di $ RR $ , altrimenti non è sempre vero...

[leo91tn]

non è "sottointeso" che la funzione vada da un intervallo di R a un altro? nel senso, quali altre possibilità ci sono per una funzione invertibile e continua?
in pratica, in quale ipotesi di intervalli non risulterebbe vera ?

[Pierlu11]

Non è sempre vera se la funzione è tra due spazi metrici generici...

[leo91tn]

potrei avere qualche esempio di funzione continua e invertibile che non amette inversa continua?

[Rigel1]

"leo91tn":potrei avere qualche esempio di funzione continua e invertibile che non amette inversa continua?

Puoi considerare la funzione \(f:[0,2\pi)\to S^1\), con \(S^1\) circonferenza unitaria (munita della metrica indotta da quella euclidea oppure dalla metrica angolare, è lo stesso), definita da:
\(f(x) = (\cos x, \sin x)\), \(x\in [0, 2\pi)\).

[Paolo902]

"leo91tn":potrei avere qualche esempio di funzione continua e invertibile che non amette inversa continua?

L'identità $(X,\tau_1) \to (X,\tau_2)$, dove le due topologie sono tali che $\tau_2 \subset \tau_1$ con inclusione stretta.