Domanda su come determinare tutti gli asintoti di una funzione
ciao, avrei una domanda sul metodo per ricavare tutti gli asintoti di una determinata funzione.
Vi illustro il metodo su cui ho un dubbio(e l'esercizio su cui sono bloccato).
METODO
Sia data $ f(x) $ , essa ammette asintoto obliquo di equazione $ y= mx + q $ per $ x \to \infty $ (+ o - infinito) se:
$ f(x) = mx + q + o(1) $ $ , $ $ x \to \infty $ (+ o - infinito)
Ora, io non sono sicuro di una cosa: quando cerco di ricondurmi a una formula del genere, devo ragionare come se stessi facendo il limite della funzione su cui sto lavorando?
Per spiegarmi meglio vi mostro l'esercizio che sto svolgendo, dove mi viene richiesto di determinare tutti gli asintoti della funzione
$ f(x)= ((x^3)/(x^2 + 4|x|))*((e^x + 8)/(e^x + |x|^3)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
per prima cosa ho determinato il dominio della mia funzione, ovvero $RR$ con zero escluso. Al che ho determinato i possibili asintoti a tangente verticale facendo
$\lim_{x \to \0+}f(x)= +\infty$
e
$\lim_{x \to \0-}f(x)= -\infty$
quindi in x= 0 vi è un asintoto a tangente verticale.
Ora passo al problema vero e proprio, ovvero determinare gli asintoti obliqui. Ecco cosa ho fatto
CASO $ x \to \+infty $
Io ho riscritto la mia funzione come:
$f(x)= ((x^3)/(x^2 + 4|x|))*((e^x + 8)/(e^x + |x|^3)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = ((x^3)/(x^2(1 + 4/x)))*(e^x*(1 + 8/e^x))/(e^x*(1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = ((x)/(1 + 4/x))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = ((x)*(1 + 4/x)^(-1))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
da qui arriva la mia perplessità: comportarmi come se stessi facendo il limite a più infinito credo sia sbagliato, perchè ovviamente mi libera della x, in quanto mi da il risultato del limite. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di considerare varie parti "scomode" come o-piccolo di qualcosa che mi torna comodo(ed utilizzare degli sviluppi dove necessario), ovvero
$ ((x)*(1 + 4/x)^(-1))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = x*(1 - 4/x + o(1/x))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
e, considerando $ (8/e^x = o(1/x)) , (x^3/e^x = o(1/x)) $ (cosa che non sono sicuro di poter fare) arrivo a:
$ x*(1 - 4/x + o(1/x))*(1 + o(1/x))/(1 + o(1/x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
il problema ora è che non mi viene in mente come sbarazzarmi di
$ (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
o meglio, ho pensato di considerarla come un $o(1)$ (visto che la funzione seno è limita (fra -1 e 1), e una volta che viene divisa per la mia x diventa un infinitesimo) ma ancora una volta, non sono sicuro di poterlo fare.
nel caso in cui tutto il ragionamento fosse corretto ottengo che il mio asintoto obliquo a più infinito è
$ y= x - 4$
per finire l'esercizio, rifaccio i conti e mi esce che l'asintoto obliquo a meno infinito ha equazione
$ y= x + 4$
(anche qui non sono sicuro, non sono bravissimo quando entrano in gioco i moduli).
Quindi, per concludere il poema, qualcuno saprebbe dirmi se il mio modo di procedere è corretto o meno?e se vi sono eventuali errori qua e là per la strada?
Se qualcuno inoltre avesse la voglia e la pazienza di scrivere un esercizio svolto con questo metodo, se possibile con una funzione anche piuttosto difficile, a titolo esplicativo, bhe sarebbe davvero molto gradito, perchè credo di non aver capito niente del metodo con cui procedere.
Grazie in anticipo, e scusate per l'interminabilità del post.
Vi illustro il metodo su cui ho un dubbio(e l'esercizio su cui sono bloccato).
METODO
Sia data $ f(x) $ , essa ammette asintoto obliquo di equazione $ y= mx + q $ per $ x \to \infty $ (+ o - infinito) se:
$ f(x) = mx + q + o(1) $ $ , $ $ x \to \infty $ (+ o - infinito)
Ora, io non sono sicuro di una cosa: quando cerco di ricondurmi a una formula del genere, devo ragionare come se stessi facendo il limite della funzione su cui sto lavorando?
Per spiegarmi meglio vi mostro l'esercizio che sto svolgendo, dove mi viene richiesto di determinare tutti gli asintoti della funzione
$ f(x)= ((x^3)/(x^2 + 4|x|))*((e^x + 8)/(e^x + |x|^3)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
per prima cosa ho determinato il dominio della mia funzione, ovvero $RR$ con zero escluso. Al che ho determinato i possibili asintoti a tangente verticale facendo
$\lim_{x \to \0+}f(x)= +\infty$
e
$\lim_{x \to \0-}f(x)= -\infty$
quindi in x= 0 vi è un asintoto a tangente verticale.
Ora passo al problema vero e proprio, ovvero determinare gli asintoti obliqui. Ecco cosa ho fatto
CASO $ x \to \+infty $
Io ho riscritto la mia funzione come:
$f(x)= ((x^3)/(x^2 + 4|x|))*((e^x + 8)/(e^x + |x|^3)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = ((x^3)/(x^2(1 + 4/x)))*(e^x*(1 + 8/e^x))/(e^x*(1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = ((x)/(1 + 4/x))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = ((x)*(1 + 4/x)^(-1))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
da qui arriva la mia perplessità: comportarmi come se stessi facendo il limite a più infinito credo sia sbagliato, perchè ovviamente mi libera della x, in quanto mi da il risultato del limite. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di considerare varie parti "scomode" come o-piccolo di qualcosa che mi torna comodo(ed utilizzare degli sviluppi dove necessario), ovvero
$ ((x)*(1 + 4/x)^(-1))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) = x*(1 - 4/x + o(1/x))*((1 + 8/e^x))/((1 + (x^3)/e^x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
e, considerando $ (8/e^x = o(1/x)) , (x^3/e^x = o(1/x)) $ (cosa che non sono sicuro di poter fare) arrivo a:
$ x*(1 - 4/x + o(1/x))*(1 + o(1/x))/(1 + o(1/x)) + (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
il problema ora è che non mi viene in mente come sbarazzarmi di
$ (sin(x^2)/sqrt(|x|)) $
o meglio, ho pensato di considerarla come un $o(1)$ (visto che la funzione seno è limita (fra -1 e 1), e una volta che viene divisa per la mia x diventa un infinitesimo) ma ancora una volta, non sono sicuro di poterlo fare.
nel caso in cui tutto il ragionamento fosse corretto ottengo che il mio asintoto obliquo a più infinito è
$ y= x - 4$
per finire l'esercizio, rifaccio i conti e mi esce che l'asintoto obliquo a meno infinito ha equazione
$ y= x + 4$
(anche qui non sono sicuro, non sono bravissimo quando entrano in gioco i moduli).
Quindi, per concludere il poema, qualcuno saprebbe dirmi se il mio modo di procedere è corretto o meno?e se vi sono eventuali errori qua e là per la strada?
Se qualcuno inoltre avesse la voglia e la pazienza di scrivere un esercizio svolto con questo metodo, se possibile con una funzione anche piuttosto difficile, a titolo esplicativo, bhe sarebbe davvero molto gradito, perchè credo di non aver capito niente del metodo con cui procedere.
Grazie in anticipo, e scusate per l'interminabilità del post.
Risposte
Ciao
io ti suggerirei di fare questi semplici calcoli
per prima cosa verifichi se
[tex]\displaystyle \lim_{x->\infty} \frac{f(x)}{x} = m[/tex]
e se è verificato allora vedi se
[tex]\displaystyle \lim_{x->\infty} f(x)-mx = q[/tex]
ovviamente la stessa cosa va verificata per $x-> -oo$
che ne dici?
io ti suggerirei di fare questi semplici calcoli
per prima cosa verifichi se
[tex]\displaystyle \lim_{x->\infty} \frac{f(x)}{x} = m[/tex]
e se è verificato allora vedi se
[tex]\displaystyle \lim_{x->\infty} f(x)-mx = q[/tex]
ovviamente la stessa cosa va verificata per $x-> -oo$
che ne dici?
ciao, il metodo che sfrutta i limiti lo conosco e ho già provato a risolvere l'esercizio in quel modo un po' di tempo fa. Onestamente non ricordo se l'esercizio son riuscito a risolverlo o meno(mi pare di no).
Comunque la mia perplessità più grande era sul metodo che ho descritto, non tanto sul come è possibile determinare gli asintoti, poichè ci terrei a capire un po' più a fondo questo metodo, che trovo molto bello.
Anche per quanto riguarda questo esercizio, forse l'altro metodo è più comodo, ma trovavo utile affrontarlo con il procedimento che ho descritto proprio per chiarire alcuni miei dubbi che ho elencato(e anche perchè mi interesserebbe vedere questo esercizio svolto correttamente in questa maniera)
grazie comunque per la risposta e l'interessamento!
Comunque la mia perplessità più grande era sul metodo che ho descritto, non tanto sul come è possibile determinare gli asintoti, poichè ci terrei a capire un po' più a fondo questo metodo, che trovo molto bello.
Anche per quanto riguarda questo esercizio, forse l'altro metodo è più comodo, ma trovavo utile affrontarlo con il procedimento che ho descritto proprio per chiarire alcuni miei dubbi che ho elencato(e anche perchè mi interesserebbe vedere questo esercizio svolto correttamente in questa maniera)
grazie comunque per la risposta e l'interessamento!
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