Domanda su calcolo equazione differenziale
Ho una domanda che non riesco bene a risolvere sulle variabili separabili, in realtà è stata indotta da una discussione letta ma di cui non ho risposta concreta.
Per definizione le eq.separabili sono del tipo
$y'(t)=a(t)⋅b(y(t))$
Mi trovavo di fronte a questo esercizio che ho ridotto in forma normale dopo alcuni calcoli
$y'(t)=Csin(t)$
L'ho risolta considerando $Csint=a(t)$
Tuttavia ecco il dubbio:
nessuno vieta di pensare che possa esistere (restringendo i casi delle possibili funzioni): $y(t)=t$ a questo punto posso anche considerare $sint=b(y)$, dunque dovrei separarle come
$y'(t)/sint=C$
che ovviamente darà un risultato diverso portandolo a risoluzione. Eppure i risultati che escono da tale ipotesi non sono contenuti nella soluzione operata in prima battuta considerando $sin(t)=a(t)$. Tuttavia anche $y(t)=t$ mi pare del tutto lecita come ipotesi e quindi essendo una hp più stringente tali risultati dovrebbero essere contenuti nell'altro metodo risolutivo, evidentemente sbaglio qualcosa.
Per definizione le eq.separabili sono del tipo
$y'(t)=a(t)⋅b(y(t))$
Mi trovavo di fronte a questo esercizio che ho ridotto in forma normale dopo alcuni calcoli
$y'(t)=Csin(t)$
L'ho risolta considerando $Csint=a(t)$
Tuttavia ecco il dubbio:
nessuno vieta di pensare che possa esistere (restringendo i casi delle possibili funzioni): $y(t)=t$ a questo punto posso anche considerare $sint=b(y)$, dunque dovrei separarle come
$y'(t)/sint=C$
che ovviamente darà un risultato diverso portandolo a risoluzione. Eppure i risultati che escono da tale ipotesi non sono contenuti nella soluzione operata in prima battuta considerando $sin(t)=a(t)$. Tuttavia anche $y(t)=t$ mi pare del tutto lecita come ipotesi e quindi essendo una hp più stringente tali risultati dovrebbero essere contenuti nell'altro metodo risolutivo, evidentemente sbaglio qualcosa.
Risposte
A parte il fatto che non c'è bisogno di scomodare le EDO per risolvere il problema... Non capisco il ragionamento che fai per dedurre che quelle cose lì siano equivalenti.
Prova ad esplicitarlo decentemente.
Prova ad esplicitarlo decentemente.
Ciao gugo82 
,
sì certo non è obbligatorio, ma era un esercizio che richiedeva tale metodologia. Il mio dubbio è sulla scelta di quale funzione sia $a(t)$ e quale $b(y(t))$.
(A) La scelta ricade su $a(t)=Csint$...e si svolge senza problemi.
Il dubbio, invece, è: ma dato che la funzione identità $y(t)=t$ è una funzione di t, allora nessunomi impediscea priori di dire che $sin(t)$ sia una $b(y)$ cioe $sin(y(t))$ con y(t) ristretta all'identità.
Impongo una ipotesi più forte, però non è sbagliata a priori.
A questo punto posso apportare la separazione $(y'(t))/sin(y(t))=C$ ricordando la restrizione di y(t)=t
Da cui la domanda
In sostanza data l'ipotesi mi aspetto non lo stesso risultato, tuttavia che tale risultato possa essere contenuto nella soluzione dell'equazione al punto (A), ma così non è. Quindi volevo capire dove mi incasino.
,sì certo non è obbligatorio, ma era un esercizio che richiedeva tale metodologia. Il mio dubbio è sulla scelta di quale funzione sia $a(t)$ e quale $b(y(t))$.
(A) La scelta ricade su $a(t)=Csint$...e si svolge senza problemi.
Il dubbio, invece, è: ma dato che la funzione identità $y(t)=t$ è una funzione di t, allora nessunomi impediscea priori di dire che $sin(t)$ sia una $b(y)$ cioe $sin(y(t))$ con y(t) ristretta all'identità.
Impongo una ipotesi più forte, però non è sbagliata a priori.
A questo punto posso apportare la separazione $(y'(t))/sin(y(t))=C$ ricordando la restrizione di y(t)=t
Da cui la domanda
Eppure i risultati che escono da tale ipotesi non sono contenuti nella soluzione operata in prima battuta considerando sin(t)=a(t). Tuttavia anche y(t)=t mi pare del tutto lecita come ipotesi e quindi essendo una hp più stringente tali risultati dovrebbero essere contenuti nell'altro metodo risolutivo, evidentemente sbaglio qualcosa.
In sostanza data l'ipotesi mi aspetto non lo stesso risultato, tuttavia che tale risultato possa essere contenuto nella soluzione dell'equazione al punto (A), ma così non è. Quindi volevo capire dove mi incasino.
Ma ti risulta che $sin t$ dipenda esplicitamente da $y$?
No, certo, ma perché non potrei ipotizzare che t sia una qualche funzione di y? Alla fine y è una funzione di t, ergo potrei se invertibile trovare una dipendenza di t da y (sia g) e dire che $b(y)=sin(g(y))$
Sempre sfruttando b(y) intesa come y'(t)=a(t)⋅b(y(t)) della edo
Sempre sfruttando b(y) intesa come y'(t)=a(t)⋅b(y(t)) della edo
Che cos'è una EDO.
Hai una definizione che non sia una fetecchia?
Hai una definizione che non sia una fetecchia?
Vado a memoria per cercare di capire l'errore:
Dato I intervallo nei reali e $F:IxxRR^n->R$ ossia esplicitamente $F(t,y(t),...(y^n(t)))=0$, quindi una funzione che manda nel reale 0.
Una edo è un problema per il quale
- vogliamo trovare tutte le y(t) e i domini U che siano inclusi in I
- y deve essere derivabile n volte in U
- Per ogni t dei vari U si abbia effettivamente che: $F(t,y(t),...(y^n(t)))=0$
Specializzando al nostro caso se prendo $y'(t)=Csin(t)$ cioè il mio problema (edo) e inverto t $y'(t)=Csin(g(y))$ rientri in uno dei casi $F:IxxRR^n->R$ ossia $y'(t)=a(t)⋅b(y(t))$ detta edo a variabili separabili, cui attribuisco a sin(g(y)) la funzione di $b(y(t))$. Al massimo restringo le soluzioni con questa limitazione trovandone solo una parte (poiché imponendo un aipotesi più restrittiva potrei trovarle non tutte). Nella mia mente bacata
Dato I intervallo nei reali e $F:IxxRR^n->R$ ossia esplicitamente $F(t,y(t),...(y^n(t)))=0$, quindi una funzione che manda nel reale 0.
Una edo è un problema per il quale
- vogliamo trovare tutte le y(t) e i domini U che siano inclusi in I
- y deve essere derivabile n volte in U
- Per ogni t dei vari U si abbia effettivamente che: $F(t,y(t),...(y^n(t)))=0$
Specializzando al nostro caso se prendo $y'(t)=Csin(t)$ cioè il mio problema (edo) e inverto t $y'(t)=Csin(g(y))$ rientri in uno dei casi $F:IxxRR^n->R$ ossia $y'(t)=a(t)⋅b(y(t))$ detta edo a variabili separabili, cui attribuisco a sin(g(y)) la funzione di $b(y(t))$. Al massimo restringo le soluzioni con questa limitazione trovandone solo una parte (poiché imponendo un aipotesi più restrittiva potrei trovarle non tutte). Nella mia mente bacata
Ah, quindi vuoi cambiare variabile indipendente e dipendente... E perché il cambiamento di variabile non dovrebbe riflettersi sul primo membro?
Il succo delle EDO a variabili separabili è che il secondo membro $f(t,y)$ è una funzione che si rappresenta come prodotto di una funzione solo di $t$ e di una funzione solo di $y$:
$f(t,y) = a(t) * b(y)$.
Il succo delle EDO a variabili separabili è che il secondo membro $f(t,y)$ è una funzione che si rappresenta come prodotto di una funzione solo di $t$ e di una funzione solo di $y$:
$f(t,y) = a(t) * b(y)$.
"gugo82":
Il succo delle EDO a variabili separabili è che il secondo membro $f(t,y)$ è una funzione che si rappresenta come prodotto di una funzione solo di $t$ e di una funzione solo di $y$:
$f(t,y) = a(t) * b(y)$.
Ok su questo ci sono, e nel caso solo per fissarle le idee a(t) è sin(t). Però come dici la mia idea è: ma se trovo una funzione g tale che g(y) =t questo dovrebbe rendermi $sing(y)$ dipendente solo da y. E considero a(t) la costante C.
Insomma, riscrivo $ y'=Csin(g(y))$ e non dovrebbe anche questa essere a variabili separabili?
Certo è vero che devo trovare una funzione g con cui esprimere t, ma a priori potrebbe esistere.
Mi trovi esplicitamente $g(y)$?
Ecco qui viene il nodo al pettine XD non sono sicuro si possa trovare esplicitamente. All inizio nel caso Sin(t) a pensato a y(t)=t e quindi g(t)=y. Ma mi accorgo non essere una soluzione y(t)=t quindi fallisce la mia idea in principio.
Insomma, la vera domanda era questa. Si può? Mi pare di capire di no
altrimenti non mi avresti detto di trovarla.
Insomma, la vera domanda era questa. Si può? Mi pare di capire di no
altrimenti non mi avresti detto di trovarla.
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