Domanda su banale integrale

[zardo1992]

L'integrale originario è il seguente
$ \int_0^3 \frac{e^x-18}{e^(2x)+9}\ \text{d} x$

e sono riuscito ad arrivare sino allo svolgimento dell' integrale indefinito:
$ \int \frac{e^x-18}{e^(2x)+9}\ \text{d} x = \frac{1}{3}\text{arctg}(\frac{e^x}{3}) - \int \frac{18}{e^(2x) + 9}$

Nello svolgimento di $\(\int \frac{18}{e^(2x) + 9})$ mi intoppo e non riesco a proseguire

Ho provato a procedere per sostituzione, ponendo $t=2x$ e $dt = 2dx$, aggiustando opportunamente il numeratore per sostituire con $dt$, ma nulla.

Qualche anima pia che mi dia una mano?

[Seneca1]

$int 1/( (e^x/3)^2 + 1 ) dx = int 1/(y^2 + 1) * 1/y dy$

[zardo1992]

"Seneca":$int 1/( (e^x/3)^2 + 1 ) dx = int 1/(y^2 + 1) * 1/y dy$

grazie mille

[zardo1992]

non mi è chiaro bene il passaggio. Perchè è uscito quel $\frac(1)(y)$?

[zardo1992]

hai sostituito $y=e^(x)/3$ ma da dove hai tirato fuori il $dy$?

[zardo1992]

ok, ci sono arrivato. $dx = 3/(e^x) dy => \int 1/(y^2 + 1)\dot 1/y dy$

Ma come risolvo l'integrale? Con che metodo? Sto uscendo pazzo

[Seneca1]

Da $y = e^x/3$ si ottiene $log(3y) = x$. Allora (differenziando m.a.m., come si suole dire) $1/(3y) 3 dy = dx$ .

Integrare una funzione razionale fratta è una cosa abbastanza standard; penso sia spiegato in qualsiasi testo di Analisi 1.
Conosci la decomposizione in fratti semplici?

[zardo1992]

"Seneca":Da $y = e^x/3$ si ottiene $log(3y) = x$. Allora (differenziando m.a.m., come si suole dire) $1/(3y) 3 dy = dx$ .

Integrare una funzione razionale fratta è una cosa abbastanza standard; penso sia spiegato in qualsiasi testo di Analisi 1.
Conosci la decomposizione in fratti semplici?

in sostanza spezzare la frazione in due fratti?