Domanda stupida su disuguaglianza logaritmica
Mi è sorto uno stupido dubbio sulla disuguaglianza \[\displaystyle \log(x+1) < x \qquad \forall \; x>0 \]
Se considero infatti la successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \), positiva \(\displaystyle \forall \; n \in \mathbb{N} \), posso affermare che \[\displaystyle \log(a_{n} + 1) < a_{n} \qquad \forall \; n \in \mathbb{N} \]
in quanto il termine ennesimo della successione è comunque un numero reale, giusto?
Se considero infatti la successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \), positiva \(\displaystyle \forall \; n \in \mathbb{N} \), posso affermare che \[\displaystyle \log(a_{n} + 1) < a_{n} \qquad \forall \; n \in \mathbb{N} \]
in quanto il termine ennesimo della successione è comunque un numero reale, giusto?
Risposte
Sì, certo.
Se vuoi prova a visualizzarlo geometricamente... In un piano cartesiano hai il grafico della retta $y = x$ e del logaritmo $y = log( 1 + x)$. Ora considera una successione di punti sull'asse reale e vai a vedere le rispettive immagini tramite queste due funzioni...
Se vuoi prova a visualizzarlo geometricamente... In un piano cartesiano hai il grafico della retta $y = x$ e del logaritmo $y = log( 1 + x)$. Ora considera una successione di punti sull'asse reale e vai a vedere le rispettive immagini tramite queste due funzioni...
Perfetto, grazie mille. Meglio chiedere conferma che vedersi invalidata una dimostrazione per una sciocchezza.
Quella è una disuguaglianza figlia della concavità del logaritmo. Infatti stai dicendo che il grafico di \(\log(1+x)\) è al di sotto della sua retta tangente in \(0\).
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