Domanda sparita sulla definizione di primitiva
Stavo rispondendo ad una domanda di un utente, e non so perché poi la domanda è sparita. La domanda era questa:
Siccome stavo rispondendo ma poi quando volevo pubblicare la mia risposta mi diceva che l'argomento non esisteva più, e magari all'OP serve, posto qui la mia risposta.
Il problema di definire la primitiva di una funzione su un insieme qualsiasi, e per qualsiasi s'intende un qualunque sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) anche non connesso per archi (con dei buchi per intenderci) è che la primitiva non è più unica a meno di una costante, ma diviene unica a meno di una funzione localmente costante.
Ad esempio la funzione \( f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) definita da
\[ x \mapsto f(x) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & x > 0 \\
-1 & \text{se} & x < 0
\end{matrix}\right. \]
possiede derivata \( f' : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}\) definita da \( x \mapsto f'(x) = 0 \).
Se definisci la primitiva di \(f' \) su un intervallo come il tuo libro \( F : I \subset \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) allora necessariamente \( I \subseteq \mathbb{R}_+^* \) oppure \( I \subseteq \mathbb{R}_-^* \) e dunque su quell'intervallo \(I\) la tua primitiva \(F \) è unica a meno di una costante. Infatti differisce da \(f\) su \(I\) da una costante. Se prendi \( I = (0,1) \) abbiamo che \( F : (0,1) \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto F(x)= 7 \) è una primitiva, che differisce da \(f \) da una costante (che vale 6 nel nostro caso) sull'intervallo \(I\). Infatti su \((0,1)\) abbiamo che \( F(x)-f(x) = 6 \).
Mentre se definisci la primitiva di \(f'\) su un insieme qualunque, quindi accetti che la primitiva possa essere definita su \( \mathbb{R}^* \), allora risulta che \( F: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) non è più unica a meno di una costante. Ad esempio \( F : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto F(x)= 7 \) è una primitiva ma non è unica a meno di una costante. Risulta essere unica a meno di una funzione che è localmente costante. Infatti su \( \mathbb{R}^* \) risulta che \( F(x) - f(x) = g(x) \) dove \( g : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) è una funzione definita
\[x \mapsto g(x) =\left\{\begin{matrix}
6 & \text{se} & x > 0 \\
8 & \text{se} & x < 0
\end{matrix}\right. \]
definendo la primitiva su un intervallo quello che fai è evitare questi problemucci.
Ciao, il libro "Lezioni di Analisi Matematica I" di S. Lancelotti, nell'introduzione al calcolo integrale con le primitive di una funzione fa la seguente osservazione:
"Si sottolinea il fatto che si parla di primitive di una funzione su un INTERVALLO e non su un insieme qualsiasi"
marcando tale parola, cosa intende per insieme qualsiasi?
Siccome stavo rispondendo ma poi quando volevo pubblicare la mia risposta mi diceva che l'argomento non esisteva più, e magari all'OP serve, posto qui la mia risposta.
Il problema di definire la primitiva di una funzione su un insieme qualsiasi, e per qualsiasi s'intende un qualunque sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) anche non connesso per archi (con dei buchi per intenderci) è che la primitiva non è più unica a meno di una costante, ma diviene unica a meno di una funzione localmente costante.
Ad esempio la funzione \( f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) definita da
\[ x \mapsto f(x) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & x > 0 \\
-1 & \text{se} & x < 0
\end{matrix}\right. \]
possiede derivata \( f' : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}\) definita da \( x \mapsto f'(x) = 0 \).
Se definisci la primitiva di \(f' \) su un intervallo come il tuo libro \( F : I \subset \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) allora necessariamente \( I \subseteq \mathbb{R}_+^* \) oppure \( I \subseteq \mathbb{R}_-^* \) e dunque su quell'intervallo \(I\) la tua primitiva \(F \) è unica a meno di una costante. Infatti differisce da \(f\) su \(I\) da una costante. Se prendi \( I = (0,1) \) abbiamo che \( F : (0,1) \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto F(x)= 7 \) è una primitiva, che differisce da \(f \) da una costante (che vale 6 nel nostro caso) sull'intervallo \(I\). Infatti su \((0,1)\) abbiamo che \( F(x)-f(x) = 6 \).
Mentre se definisci la primitiva di \(f'\) su un insieme qualunque, quindi accetti che la primitiva possa essere definita su \( \mathbb{R}^* \), allora risulta che \( F: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) non è più unica a meno di una costante. Ad esempio \( F : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto F(x)= 7 \) è una primitiva ma non è unica a meno di una costante. Risulta essere unica a meno di una funzione che è localmente costante. Infatti su \( \mathbb{R}^* \) risulta che \( F(x) - f(x) = g(x) \) dove \( g : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) è una funzione definita
\[x \mapsto g(x) =\left\{\begin{matrix}
6 & \text{se} & x > 0 \\
8 & \text{se} & x < 0
\end{matrix}\right. \]
definendo la primitiva su un intervallo quello che fai è evitare questi problemucci.
Risposte
Non l'ho vista.
Probabilmente è stata cancellata dall'utente.
Probabilmente è stata cancellata dall'utente.
Grazie per la condivisione 3m0o! Sempre piacevole leggerti.
"Mephlip":
Grazie per la condivisione 3m0o! Sempre piacevole leggerti.
Prego, troppo gentile
. Spero possa servire a chi a fatto la domanda iniziale.
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