Domanda sistema equazioni differenziali lineari

[malcon]

Salve, ho un dubbio su come si concludono i sistemi di equazioni differenziali lineari.
Io ho questo esercizio :

$\{(y_1'+y_1-y_2=0),(y_2'-4y_1+y_2=0):}$
intanto me le scrivo meglio e ho :
$\{(y_1'=-y_1+y_2),(y_2'=4y_1-y_2):}$

Mi scrivo la matrice associata : $((-1,1),(4,-1))$ e mi vado a calcolare il polinomio caratteristico che mi viene :

$x^2+2x-3=0$ risolvendo trovo gli autovalori :
$x_1=-3 => e^(-3x)$
$x_2=1=>e^x$

Quindi le soluzioni mie saranno date da :
$\{(y_1(x)=K_1e^(-3x)a_1 + K_2e^xb_1),(y_2(x)=K_1e^(-3x)a_2+K_2e^xb_2):}$

Ora mi devo andare a calcolare gli autovettori associati agli autovalori trovati per trovare i vari $a_1,a_2,b_1,b_2$

Quindi ho che $V(-3)=(0,0)$ e che $V(1)=(1,2)$

per cui sostituendo ancora al mio sistema ottengo alla fine :

$\{(y_1(x)=K_2e^x),(y_2(x)=2K_2e^x):}$

Quello che mi chiedo è ... posso concluderlo qui l'esercizio o è neccessario andare anche a calcolare le varie K ?

[Rigel1]

Usare il vettore nullo come autovettore relativo all'autovalore $-3$ non mi sembra una buona idea...

[malcon]

ma andandolo a calcolare mi veniva cosi mi pare ... mmm riprovo a far i calcoli magari ho sbagliato qualche passaggio, anche a me faceva strano ma mi era venuto cosi da calcoli credo, ora riprovo

EDIT :

Ecco ho capito dove ho sbagliato forse, ho sbagliato con il segno del autovalore lungo la diagonale
dovrebbe venire invece cosi :

$V(-3) = (1,4)$ e di conseguenza il sistema finale viene :

$\{(y_1(x)=K_1e^(-3x)+K_2e^x),(y_2(x)= 4K_1e^(-3x)+2K_2e^x):}$

ecco ora dovrebbe essere corretto fin qui quindi lo si puo concludere qui e lasciare come soluzione del sistema questo o devvo andare a calcolarmi le K ?

[Rigel1]

L'integrale generale dipende da quei due parametri (l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione $2$).

[malcon]

capito grazie