Domanda serie potenze/funzioni
Ciao a tutti, avrei un quesito da porre.
il soggetto è : una serie di potenze con raggio di convergenza uguale ad infinito ( ossia il limite = 0 dal metodo della radice/confronto ad esempio) che quindi converge totalmente per ogni x appartenente a R ( Reali )
Se applicando a questa Serie il teorema CNS Cauchy della convergenza uniforme (sup della serie di funzioni deve essere minore di infinito per avere convergenza uniforme) trovo che è infinito cosa posso dire ??
Cioè il mio problema è che avendo il raggio di convergenza infinito dovrebbe convergere su tutto R ( tutti reali ) invece l'altro mi dice che non converge...
dove sta l'errore ?
grazie
Filippo
il soggetto è : una serie di potenze con raggio di convergenza uguale ad infinito ( ossia il limite = 0 dal metodo della radice/confronto ad esempio) che quindi converge totalmente per ogni x appartenente a R ( Reali )
Se applicando a questa Serie il teorema CNS Cauchy della convergenza uniforme (sup della serie di funzioni deve essere minore di infinito per avere convergenza uniforme) trovo che è infinito cosa posso dire ??
Cioè il mio problema è che avendo il raggio di convergenza infinito dovrebbe convergere su tutto R ( tutti reali ) invece l'altro mi dice che non converge...
dove sta l'errore ?
grazie
Filippo
Risposte
"kangaxx":
Ciao a tutti, avrei un quesito da porre.
il soggetto è : una serie di potenze con raggio di convergenza uguale ad infinito ( ossia il limite = 0 dal metodo della radice/confronto ad esempio) che quindi converge totalmente per ogni x appartenente a R ( Reali )
Se applicando a questa Serie il teorema CNS Cauchy della convergenza uniforme (sup della serie di funzioni deve essere minore di infinito per avere convergenza uniforme) trovo che è infinito cosa posso dire ??
Cioè il mio problema è che avendo il raggio di convergenza infinito dovrebbe convergere su tutto R ( tutti reali ) invece l'altro mi dice che non converge...
dove sta l'errore ?
grazie
Filippo
Il problema è che il Teorema del raggio di convergenza ti dice che, chiamato $rho$ il raggio di convergenza della serie, per ogni $0
Ciò vale anche nel caso $rho=+oo$: quindi non puoi aspettarti convergenza (totale o) uniforme in tutto $RR$, ma solo su ogni intervallo compatto del tipo $[-r,r]$.*
__________
* In realtà, se $rho=+oo$, la convergenza totale ed uniforme c'è su ogni limitato, poiché infatti ogni limitato può essere racchiuso in almeno un intervallo del tipo $[-r,r]$ con $r>0$ ed in tale intervallo la convergenza è totale.
grazie!
ecco allora dove è l'inghippo.
quindi se io ho raggio di convergenza "p" la mia serie converge un un [-R,R] incluso in ]-p,p[ e basta ? quindi posso avvalermi di entrambi i teoremi da me esposti per valutare la convergenza ?
grazie ancora.
ecco allora dove è l'inghippo.
quindi se io ho raggio di convergenza "p" la mia serie converge un un [-R,R] incluso in ]-p,p[ e basta ? quindi posso avvalermi di entrambi i teoremi da me esposti per valutare la convergenza ?
grazie ancora.
Quali teoremi?... Per fare che?...
Voglio dire, se hai una serie di potenze, già sai cosa aspettarti (cioè esattamente ciò che ho scritto nel post precedente) quindi, una volta calcolato il raggio di convergenza $rho$, "per magia"* puoi già dire che serie converge in ogni insieme limitato con la chiusura contenuta nell'intervallo aperto di convergenza $]-rho,rho[$.
Questo in soldoni vuol dire che c'è sicuramente convergenza totale in ogni sottoinsieme limitato $B\subseteq ]-rho, rho[$ che non tocchi gli estremi dell'intervallo (ad esempio, se $rho=1$, c'è sicuramente convergenza totale in $[0,3/4]$, però in generale non puoi dire che c'è convergenza totale e nemmeno uniforme in $[0,1[$ o $]-1,-1/3[$).
__________
* Mica tanto... Il Teorema sul raggio di convergenza c'è apposta per questo.
Voglio dire, se hai una serie di potenze, già sai cosa aspettarti (cioè esattamente ciò che ho scritto nel post precedente) quindi, una volta calcolato il raggio di convergenza $rho$, "per magia"* puoi già dire che serie converge in ogni insieme limitato con la chiusura contenuta nell'intervallo aperto di convergenza $]-rho,rho[$.
Questo in soldoni vuol dire che c'è sicuramente convergenza totale in ogni sottoinsieme limitato $B\subseteq ]-rho, rho[$ che non tocchi gli estremi dell'intervallo (ad esempio, se $rho=1$, c'è sicuramente convergenza totale in $[0,3/4]$, però in generale non puoi dire che c'è convergenza totale e nemmeno uniforme in $[0,1[$ o $]-1,-1/3[$).
__________
* Mica tanto... Il Teorema sul raggio di convergenza c'è apposta per questo.
Grazie ancora.
Ma quindi se trovo raggio di convergenza infinito mi converge per ogni x appartenente ai reali ma non ad infinito ?
Ma quindi se trovo raggio di convergenza infinito mi converge per ogni x appartenente ai reali ma non ad infinito ?
"kangaxx":
Ma quindi se trovo raggio di convergenza infinito mi converge per ogni x appartenente ai reali ma non ad infinito ?
Ma la frase:
"Gugo82":
[...] Ciò vale anche nel caso $rho=+oo$: quindi non puoi aspettarti convergenza (totale o) uniforme in tutto $RR$, ma solo su ogni intervallo compatto del tipo $[-r,r]$ con $r>0$.
è davvero tanto incomprensibile?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo